Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2011-2012 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1.  На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ таким образом, что серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ проходит через центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Докажите, что этот перпендикуляр проходит через вершину треугольника $ABC$. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2. Олег и Сергей по очереди выписывают слева направо по одной цифре, пока не получится девятизначное число. При этом нельзя выписывать цифры, которые уже выписаны. Начинает (и заканчивает) Олег. Олег побеждает, если полученное число кратно 4, в противном случае побеждает Сергей. Кто победит при правильной игре? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  В каждую клетку таблицы $2012 \times 2012$ вписан либо нуль, либо единица, причем в каждом столбце и каждой строке есть как нули, так и единицы. Докажите, что в этой таблице найдутся две строки и два столбца такие, что на концах одной из диагоналей образованного ими прямоугольника стоят нули, а другой — единицы. ( И. Рубанов, методкомиссия )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Существуют ли два многоугольника (не обязательно выпуклых), обладающих следующим свойством: прикладывая их друг к другу (без наложения), можно получить многоугольники с любым числом сторон от 3 до 100 включительно? ( И. Богданов, С. Волчёнков, С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---