Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1.  200 человек стоят по кругу. Каждый из них либо лжец, либо конформист. Лжец всегда лжет. Конформист, рядом с которым стоят два конформиста, всегда говорит правду. Конформист, рядом с которым стоит хотя бы один лжец, может как говорить правду, так и лгать. 100 из стоящих сказали: «Я — лжец», 100 других сказали: «Я — конформист». Найдите наибольшее возможное число конформистов среди этих 200 человек. ( Р. Женодаров, С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Из шахматной доски размером $13 \times 13$ вырезали две противоположные угловые клетки. На оставшейся части доски отметили несколько клеток. Докажите, что на отмеченные клетки можно поставить шахматных королей так, чтобы всего королей было не больше 47, и они били все пустые отмеченные клетки. Напомним, что шахматный король бьет все клетки, соседние с ним по вертикали, горизонтали и диагонали. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны и пересекаются в точке $O$. Точка $P$ внутри треугольника $AOD $ такова, что $CD \parallel BP $ и $AB \parallel CP$. Докажите, что точка $P$ лежит на биссектрисе угла $AOD$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Каждое из чисел $x$, $y$ и $z$ не меньше 0 и не больше 1. Докажите неравенство $$ \frac{{{x}^{2}}}{1+x+xyz}+\frac{{{y}^{2}}}{1+y+xyz}+\frac{{{z}^{2}}}{1+z+xyz}\leq 1.$$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(2)

---