қазақша
русскийII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2003 год
Задача №1. Пусть $a_1, a_2, \ldots, a_{2003}$ является последовательностью
действительных чисел. Элемент $a_k$, $1 \le k \le 2003$, назовем $\textit{ведущим}$ элементом,
если хотя бы одно из выражений
$a_k, a_k + a_{k+1}, \ldots, a_k + a_{k+1} + \ldots + a_{2003}$
является положительным. Докажите, сумма всех ведущих элементов последовательности является положительной,
если последовательность имеет хотя бы один ведущий элемент.
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Задача №2. Пусть $s = (AB + BC + AC)/2$ является полупериметром треугольника $ABC$.
Выберем две точки $L$ и $N$, лежащие на лучах $AB$ и $CB$ соответственно,
при этом удовлетворяющих условию $AL = CN = s$.
Пусть точка $K$ является симметричной точке $B$ относительно центра описанной окружности треугольника $ABC$.
Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $NL$,
проходит через центр вписанной окружности треугольника $ABC$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Пусть $0 < a < b < 1$ являются действительными числами и
$$
g(x)=
\begin{cases}
x+1-a, & \text{если $0 < x < a$,}\\
b-a, & \text{если $x=a$,}\\
x-a, & \text{если $a < x < b$,}\\
1-a, & \text{если $x=b$,}\\
x-a, & \text{если $b < x < 1$.}
\end{cases}
$$
Положим, что для некоторого натурального числа $n$ найдутся $n + 1$ действительных чисел
$0 < x_0 < x_1 < \ldots < x_n < 1$ таких, что $g^n(x_i)=x_i$ для $0 \le i \le n$.
Докажите, что существует натуральное число $N$ такое, что $g^N(x)=x$ для всех $0 < x < 1$.
(Обозначение: $g^k(x) = \underbrace{g(g(\ldots(g}_{k \text{ раз}}(x))\ldots))$).
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Найдите сумму $\sum_{k \in A}\dfrac{1}{k-1}$ если $A = \{ m^n : m,n \in \mathbb{Z}, m,n \ge 2\}$.
комментарий/решение
комментарий/решение