4-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2004 жыл

Есеп №1. Кез келген $x$ және $y$ үшін $(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функциясын тап.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Кейбір $m$ және $n$ бүтін сандары үшін $p={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$ және $p|{{m}^{3}}+{{n}^{3}}-4$ шарттарын қанағаттандыратын барлық $p$ жай сандарын тап. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

---

Есеп №3. Центрі $I$ нүктесі болатын, $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде жанайды. $BI$ және $CI$ түзулері $PQ$ түзуін сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. Онда $ILK$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберді тек қана $|AB| + |AC| = 3|BC|$ болғанда ғана жанайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Бір $n\ge 2$ бүтін саны белгіленген. Егер топтың кез келген адамынан басқа өзара таныс $n$ адам табылса, осы адамдар тобын $n$-қомақты дейміз. Мынадай шартты қанағаттандыратын $N$ санының максимал мүмкін мәнін табыңдар: $N$ адамнан тұратын кез келген $n$-қомақты топтың өзара таныс ${n+1}$ адамнан тұратын ішкі тобы табылады.
комментарий/решение

---