V математическая олимпиада «Шелковый путь», 2006 год

Задача №1. Найдите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющие равенству $f(x^2 + xy + f(y)) = (f(x))^2 + xf(y) + y$ для всех $x, y \in \mathbb{R}$. ( К. Жубаев )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Докажите неравенство $$4 \left( \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} + \sqrt[3]{\dfrac{b}{c}} + \sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}\right) \le 3 \left( 2 + a + b + c + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right)^{2/3}$$ для положительных действительных чисел $a,b$ и $c$, удовлетворяющих условию $abc = 1$. ( К. Жубаев )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Подмножество $S$ множества $M = \{ 1, 2, \ldots, p-1\}$, где $p$ — простое число вида $12n + 11$, называется $\textit{существенным}$, если произведение $\Pi_s$ всех элементов подмножества не меньше, чем произведение $\overline{\Pi}_s$ остальных элементов множества. При этом разность $\Delta_s = \Pi_s - \overline{\Pi}_s$ называется \textit{отклонением} подмножества $S$. Определите наименьший возможный остаток при делении на $p$ отклонения существенного подмножества, содержащего $\frac{p-1}{2}$ элементов. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

---

Задача №4.  На плоскости дано семейство $L$, состоящее из $2006$ прямых общего положения, т.е. не содержит параллельных прямых и никакие три различные прямые из $L$ не пересекаются в одной точке. Прямая $l_1 \in L$ $\textit{ограничивает}$ другую прямую $l_2 \in L$, если все точки пересечения прямой $l_2$ с остальными прямыми из семейства $L$ лежат по одну сторону от прямой $l_1$. Докажите, что в семействе $L$ найдутся две прямые $l$ и $l'$ такие, что одновременно выполняются два условия:
1) прямая $l$ ограничивает прямую $l'$;
2) прямая $l'$ не ограничивает прямую $l$.
комментарий/решение

---