VIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2009 год

Задача №1.  Докажите, что для положительных действительных чисел $a, b$ и $c$, для которых $abc \le 1$, выполнено неравенство $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 1 + \dfrac{6}{a+b+c}.$$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(13)

---

Задача №2.  В треугольнике $ABC$ биссектрисы внутренних углов $A$ и $C$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно, а описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_2$ и $C_2$, соответственно. Пусть $K$ — точка пересечения прямых $A_1C_2$ и $C_1A_2$, а $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $KI$ проходит через середину $AC$. ( А. Жолдасов )
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Турист, собирающийся посетить Компландию, обнаружил, что:
a) в этой стране $1024$ города, пронумерованные целыми числами от $0$ до $1023$;
b) два города с номерами $m$ и $n$ соединены прямой дорогой тогда и только тогда, когда двоичные записи чисел $m$ и $n$ отличаются ровно в одном разряде;
c) в период пребывания туриста в этой стране $8$ дорог будут закрыты на плановый ремонт.
Докажите, что турист может составить замкнутый маршрут по действующим дорогам Компландии, проходящий через каждый ее город ровно по одному разу. ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

---

Задача №4.  Докажите, что для любого простого числа $p$ существуют бесконечно много четверок $(x, y, z, t)$ попарно различных натуральных чисел таких, что число $(x^2+p t^2)(y^2+p t^2)(z^2+p t^2)$ является полным квадратом. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(1)

---