Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1990 год


Задача №1.  Дан треугольник $ABC$. Пусть $D$, $E$, $F$ — середины сторон $BC$, $AC$, $AB$ соответственно, и пусть $G$ — точка пересечения медиан треугольника. Для каждого значения $\angle BAC$ определите количество неподобных треугольников, таких, что $AEGF$ является вписанным четырехугольником?
комментарий/решение
Задача №2.  Пусть ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ — положительные действительные числа, и пусть ${{S}_{k}}$ — сумма всевозможных произведений $k$ элементов, взятых из набора ${{a}_{1}},{{a}_{2}}$, $\ldots$ ,${{a}_{n}}$. Докажите, что \[{{S}_{k}}{{S}_{n-k}}\ge {{\left( C_{n}^{k} \right)}^{2}}{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n}}\] для $k=1,2,\ldots ,n-1$.
комментарий/решение
Задача №3.  Рассмотрим всевозможные треугольники $ABC$, которые имеют фиксированное основание $AB$ и высоту, опущенную из вершины $C$, равной постоянной $h$. Для каких из заданных таким образом треугольников произведение их высот максимально?
комментарий/решение
Задача №4.  Множество из 1990 человек разбито на непересекающиеся подмножества, таким образом, что
Никто из подмножества не знаком со всеми остальными из этого подмножества,
Среди любых трех людей из подмножества, всегда найдутся хотя бы двое, которые не знакомы друг с другом, и
Для любых двух человек из подмножества, которые не знакомы друг с другом, найдется в точности один человек в том же подмножестве, который знает их обоих.
(а) Докажите, что в любом подмножестве каждый человек имеет одинаковое число знакомых.
(b) Определите максимально возможное число подмножеств.
Примечание: Понимается, что если человек $A$ знаком с человеком $B$, тогда человек $B$ знаком с человеком $A$, знакомый — это тот, которого знают. Предполагается, что каждый человек знаком с самим собой.
комментарий/решение
Задача №5.  Покажите, что для любого целого $n\ge 6$, существует выпуклый шестиугольник, который можно разделить на $n$ равных треугольников.
комментарий/решение