Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1991 год


Задача №1.  $G$ — центр тяжести треугольника $ABC$, $M$ — середина стороны $BC$. Точки $X$ и $Y$ выбрали на сторонах $AB$ и $AC$ так, что $XY$ параллельно $BC$ и точки $X,Y,G$ лежат на одной прямой. $XC$ и $GB$ пересекаются в точке $Q$, а $YB$ и $GC$ — в точке $P$. Докажите, что треугольники $MPQ$ и $ABC$ подобны.
комментарий/решение
Задача №2.  На плоскости отмечено 997 точек. Каждые две из отмеченных точек соединили отрезками и середины каждого отрезка покрасили в красный цвет. Докажите, что количество красных точек на плоскости не менее 1991. Можете ли вы привести пример, когда их будет ровно 1991?
комментарий/решение
Задача №3. $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, $b_1$, $b_2$, $\dots$, $b_n$ — положительные вещественные числа такие, что $a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$. Докажите, что $$ \frac{{a_1^2}}{{{a_1} + {b_1}}} + \frac{{a_2^2}}{{{a_2} + {b_2}}} + \dots + \frac{{a_n^2}}{{{a_n} + {b_n}}} \geq \frac{{{a_1} + {a_2} + \dots + {a_n}}}{2}. $$
комментарий/решение
Задача №4.  $n$ школьников сидят вокруг учителя, который раздает леденцы. Учитель выбрал первого попавшегося ребенка и дал ему леденец, следующий леденец он дал ребенку сидящему через одного от первого по часовой стрелке, затем он пропустил еще двух школьников, и дал леденец следующему ребенку, затем он пропустил трех и так далее. Найдите все значения $n$ при которых рано или поздно каждый ребенок получит хотя бы по одному леденцу.
комментарий/решение
Задача №5.  Даны две касающиеся окружности и точка $P$ на их общей касательной, проведенной в точке касания окружностей. Пользуясь только циркулем и линейкой постройте окружность проходящую через точку $P$ и касающуюся данных.
комментарий/решение