Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1993 год


Задача №1.  $ABCD$ — четырехугольник, все стороны которого равны и $\angle ABC = 60^\circ$. $l$ — прямая проходящая через $D$ и не пересекающаяся четырехугольник ни в какой другой точке. $E$ и $F$ — точки пересечения $l$ с прямыми $AB$ и $BC$ соответственно, $M$ — точка пересечения $CE$ и $AF$. Докажите, что $AC^2 = CM \cdot CE$.
комментарий/решение
Задача №2.  Найдите общее число различных целых значений, принимаемых функцией $f(x) = [x] + [2x] + [5x/3] + [3x] + [4x]$ на отрезке $[0,100]$.
комментарий/решение
Задача №3.  Даны два ненулевых многочлена с вещественными коэффициентами $f(x)$ и $g(x)$ такие, что $g(x) = (x + r)f(x)$, для некоторого вещественного $r$. Пусть $$ a = \max (|a_0|,|a_1|, \dots ,|a_n|), $$ $$ c = \max (|c_0|,|c_1|, \dots ,|c_{n + 1}|), $$ где $a_i$ — коэффициенты многочлена $f$, а $c_i$ — коэффициенты $g$. Докажите, что если степень многочлена $f$ равна $n$, то $\dfrac{a}{c} \leq n + 1$.
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите все натуральные $n$, при которых уравнение $$ x^n + (2 + x)^n + (2 - x)^n = 0 $$ имеет целое решение.
комментарий/решение
Задача №5.  $P_1$, $P_2$, $\dots$, $P_{1993} = P_0$ — различные точки плоскости такие, что
(1) для всех $i$ обе координаты $P_i$ — целые числа;
(2) на каждом из отрезков $P_iP_{i + 1}$ нет точек с целыми координатами, отличных от $P_i$ и $P_{i + 1}$.
Докажите, что на одном из отрезков $P_iP_{i + 1}$ найдется точка $Q$ с координатами $(q_x,q_y)$ такая, что числа $2q_x$ и $2q_y$ — нечетные целые.
комментарий/решение