Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1994 год


Задача №1.  Найдите все функции заданные на множестве вещественных чисел, удовлетворяющие следующим трем условиям:
(1) для любых вещественных $x$ и $y$, $ f(x) + f(y) + 1 \geq f(x + y) \geq f(x) + f(y); $
(2) для всех $x \in [0,1)$, $f(0) \geq f(x)$;
(3) $-f(-1)= f(1) = 1$.
комментарий/решение
Задача №2.  Докажите, что расстояние от ортоцентра невырожденного треугольника до центра описанной вокруг него окружности строго меньше $3R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
комментарий/решение
Задача №3.  Найдите все натуральные $n$, которые можно представить в виде суммы квадратов двух взаимно простых чисел $(n =a^2+b^2)$, таким образом, что любое простое число $p\leq \sqrt{n}$ является делителем $ab$.
комментарий/решение
Задача №4.  Существует ли бесконечное множество точек на плоскости такое, что никакие три точки из него не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между ними рациональные?
комментарий/решение
Задача №5.  В таблице $A$ записаны числа $10k$ (для всех $k > 0$) в десятичной системе счисления, в таблице $B$ они же записаны в двоичной, а в таблице $C$ — в пятеричной: \[\begin{array}{*{20}{l}} A&B&C\\ {10}&{1010}&{20}\\ {100}&{1100100}&{400}\\ {1000}&{1111101000}&{13300}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots} \end{array}\] Докажите, что каким бы ни было число $n > 1$, найдется ровно одно число или в таблице $B$ или в таблице $C$, в записи которого ровно $n$ цифр.
комментарий/решение