Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1997 год


Задача №1.  Дано \[S=1+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}+\frac{1}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}+\cdots +\frac{1}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{1993006}},\] где знаменатели содержат частичные суммы последовательности обратных величин треугольных чисел (т.е. $k=n(n+1)/2$ для $n=1,2,\ldots ,1996$). Докажите, что $S > 1001$.
комментарий/решение
Задача №2.  Найдите целое число $n$, где $1000\le n\le 1997$, такое, что $\dfrac{{{2}^{n}}+2}{n}$ также является целым числом.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $ABC$ — треугольник, вписанный в окружность и пусть ${{l}_{a}}=\frac{{{m}_{a}}}{{{M}_{a}}}$ , ${{l}_{b}}=\frac{{{m}_{b}}}{{{M}_{b}}}$ , ${{l}_{c}}=\frac{{{m}_{c}}}{{{M}_{c}}},$ где ${{m}_{a}}$, ${{m}_{b}}$, ${{m}_{c}}$ — длины биссектрис треугольника и ${{M}_{a}}$, ${{M}_{b}}$, ${{M}_{c}}$ — длины биссектрис углов, продолженных до пересечения с окружностью. Докажите, что \[\frac{{{l}_{a}}}{{{\sin }^{2}}A}+\frac{{{l}_{b}}}{{{\sin }^{2}}B}+\frac{{{l}_{c}}}{{{\sin }^{2}}C}\ge 3,\] и равенство достигается тогда и только тогда, когда $ABC$ — равносторонний треугольник.
комментарий/решение
Задача №4.  Треугольник ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}$ имеет прямой угол при вершине ${{A}_{3}}$. Последовательность точек определена следующим рекуррентным процессом. При всех натуральных $n\ge 3$ точка ${{A}_{n+1}}$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки ${{A}_{n}}$ на прямую ${{A}_{n-2}}{{A}_{n-1}}$.
(a) Докажите, что если процесс продолжается бесконечно, тогда одна и только одна точка $P$ является внутренней для любого треугольника \[{{A}_{n-2}}{{A}_{n-1}}{{A}_{n}} , \quad n\ge 3. \]
(b) Пусть ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{3}}$ — фиксированные точки. Предполагая всевозможные расположения точки ${{A}_{2}}$ на плоскости, найдите геометрическое место точек местоположения точки $P$.
комментарий/решение
Задача №5.  Предположим, что $n$ человек ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{n}}$ , $(n\ge 3)$ сидят по кругу и ${{A}_{i}}$ имеет ${{a}_{i}}$ предметов таких, что \[{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}=nN,\] где $N$ — натуральное число. Для того, чтобы каждый человек имел одинаковое число предметов, каждый человек ${{A}_{i}}$ должен отдать или принять определенное количество предметов от двух своих соседей ${{A}_{i-1}}$ и ${{A}_{i+1}}$. (Здесь ${{A}_{n+1}}$означает ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{n}}$ означает ${{A}_{0}}$.) Как данное распределение должно быть выполнено, чтобы общее число передаваемых предметов было минимальным.
комментарий/решение