Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1998 год


Задача №1.  Пусть $F$ — множество всех упорядоченных наборов из $n$ элементов $({{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots {{A}_{n}})$ где каждая ${{A}_{i}}$, $i=1,2,\ldots ,n$ является подмножеством множества $\{1,2,\ldots ,1998\}$. Пусть $\left| A \right|$ обозначает число элементов множества $A$. Найдите значение суммы $$\sum\limits_{({{A}_{1}},\ldots ,{{A}_{n}})\in F}{|}{{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup \cdots \cup {{A}_{n}}| .$$
комментарий/решение
Задача №2.  Докажите, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$, $(36a+b)(a+36b)$ не может быть степенью 2.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные действительные числа. Докажите, что $$ \left( 1+\frac{a}{b} \right)\left( 1+\frac{b}{c} \right)\left( 1+\frac{c}{a} \right)\ge 2\left( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right). $$
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть $ABC$ — треугольник и $D$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$. Пусть $E$ и $F$ — точки на прямой, проходящей через $D$ таким образом, что прямая $AE$ перпендикулярна $BE$, $AF$ перпендикулярна $CF$, $E$ и $F$отличны от $D$. Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $BC$ и $EF$ соответственно. Докажите, что прямая $AN$ перпендикулярна $NM$.
комментарий/решение
Задача №5.  Определите наибольшее среди всех целых чисел $n$, с условием того, что $n$ делится на все натуральные числа, которые меньше $\sqrt[3]{n}$.
комментарий/решение