Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2000 год


Задача №1.  Вычислите сумму \[S=\sum\limits_{i=0}^{100}{\frac{x_{i}^{3}}{1-3{{x}_{i}}+3x_{i}^{2}}}\] для всех ${{x}_{i}}=\frac{i}{101}$.
комментарий/решение
Задача №2.  Дано размещение окружностей как показано на рисунке ниже. Каждое из чисел $1,2,\ldots ,9$ должно быть записано в одно их этих окружностей, таким образом, что каждая окружность содержит в точности одно из этих чисел и
(i) суммы четырех чисел на каждой стороне треугольника равны;
(ii) суммы квадратов четырех чисел на каждой стороне треугольника равны.
Найдите всевозможные варианты записей этих чисел.


комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $ABC$ — треугольник. Пусть $M$ и $N$ — точки пересечения медианы и биссектрисы соответственно, опущенных из вершины $A$ на сторону $BC$. Пусть $Q$ и $P$ — точки в которых перпендикуляр из вершины $N$к прямой $NA$ пересекается с $MA$и $BA$ соответственно, и $O$ — точка в которой перпендикуляр из точки $P$ к $BA$ пересекается с $AN$. Докажите, что прямая $QO$ перпендикулярна $BC$.
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $n$, $k$ — натуральные числа $(n > k)$. Докажите, что $$\frac{1}{n+1}\cdot \frac{{{n}^{n}}}{{{k}^{k}}{{(n-k)}^{n-k}}} < \frac{n!}{k!(n-k)!} < \frac{{{n}^{n}}}{{{k}^{k}}{{(n-k)}^{n-k}}}.$$
комментарий/решение
Задача №5.  Дана перестановка $({{a}_{0,}}{{a}_{1,}}\ldots ,{{a}_{n}})$ последовательности $0,1,\ldots ,n$. Перестановка двух элементов ${{a}_{i}}$ и ${{a}_{j}}$ называется законной, если ${{a}_{i}}=0$ для $i > 0$ и ${{a}_{i-1}}+1={{a}_{j}}$. Перестановка $({{a}_{0}},{{a}_{1}},\ldots ,{{a}_{n}})$ называется регулярной, если после некоторого количества законных перестановок она примет вид: $(1,2,\ldots ,n,0)$. Для каких чисел $n$ перестановка $(1,n,n-1,\ldots ,3,2,0)$ будет регулярной?
комментарий/решение