Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2001 год


Задача №1.  Для натурального числа $n$ пусть $S(n)$ — сумма цифр в его десятичном представлении. Любое натуральное число, полученное посредством удаления нескольких (по крайней мере одной) цифр с правого конца десятичного представления $n$, называется обрубком. Пусть $T(n)$ — сумма всех обрубков числа $n$. Докажите, что $n=S(n)+9T(n)$.
комментарий/решение
Задача №2.  Найдите такое наибольшее натуральное число $N$, что количество целых чисел в наборе $\{1,2,\ldots ,N\}$, которые кратны 3 равно количеству чисел, кратных 5 или 7 (или кратных обоим одновременно).
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть два равных правильных $n$-угольника $S$ и $T$ расположены на плоскости таким образом, что их пересечением является $2$-угольник $(n\ge 3)$. Стороны многоугольника $S$ окрашены в красный цвет, а стороны $T$ — в синий. Докажите, что сумма длин синих сторон многоугольника $S\cap T$ равна сумме длин красных сторон.
комментарий/решение
Задача №4.  Точка на прямой в декартовой системе координат называется смешанной точной, если одна из его координат является рациональным числом и другая — иррациональным. Найдите все такие многочлены с действительными коэффициентами, что их графики не содержат ни одну смешанную точку.
комментарий/решение
Задача №5.  Найдите такое наибольшее целое число $n$, что существуют $n+4$ точек $A,B,C,D,{{X}_{1}},\ldots ,{{X}_{n}}$ на плоскости ($AB\ne CD$), удовлетворяющих следующему условию: для любого $i=1,2,\ldots, n$ треугольники $AB{{X}_{i}}$ и $CD{{X}_{i}}$ равны.
комментарий/решение