Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2002 год


Задача №1.  Даны неотрицательные целые числа $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$. Пусть $a = \left[ {\dfrac{{{a_1} + {a_2} + \dots + {a_n}}}{n}} \right],$ где $[x]$ — целая часть числа $x$. Докажите, что $a_1! a_2! \dots a_n! \geq (a!)^n$. При каких $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ выполняется равенство?
комментарий/решение
Задача №2.  Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$ такие, что $\dfrac{a^2+b}{b^2-a}$ и $\dfrac{b^2+a}{a^2-b}$ — целые числа.
комментарий/решение
Задача №3. На сторонах $AC$ и $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ взяты точки $P$ и $Q$ соответственно так, что углы $APB$ и $CQA$ — острые. Пусть $R$ — точка пересечения высот треугольника $ABP$, $S$ — точка пересечения высот треугольника $AQC$. Отрезки $BP$ и $CQ$ пересекаются в точке $T$. Известно, что $TR = RS = ST$. Найдите всевозможные значения углов $CBP$ и $BCQ$.
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $x$, $y$, $z > 0$ и $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1$. Докажите, что $\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + yx} \geq \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z .$
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что
(i) $f(x) = 0$ для конечного числа значений $x$ (возможно, $f(x) \neq 0$ для всех $x$);
(ii) $f(x^4 + y) = x^3f(x) + f(f(y)).$
комментарий/решение(1)