Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2004 год

Задача №1.  Определите все конечные непустые множества $S$ натуральных чисел, для которых $\frac{i+j}{(i,j)}$ является элементом $S$ для всех чисел $i$ и $j$ из $S$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Пусть $O$ является центром описанной окружности и $H$ — центром пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$. Докажите, что площадь одного из треугольников $AOH$, $BOH$ и $COH$ равна сумме площадей остальных двух.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Пусть дано множество $S$, состоящее из 2004 точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через $L$ обозначим множество прямых, проходящих через все пары точек множества $S$. Докажите, что точки множества $S$ возможно покрасить не более чем в два цвета так, что для любых точек $p$ и $q$ множества $S$ количество прямых из $L$, разделяющих $p$ и $q$, нечетно тогда и только тогда, когда $p$ и $q$ имеют одинаковый цвет.
Замечание. Прямая $\ell$ разделяет две точки $p$ и $q$, если $p$ и $q$ лежат на разных полуплоскостях, образованных прямой $\ell$, и ни одна из них не лежит на $\ell$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Обозначим через $[x]$ наибольшее целое число, которое не превосходит действительного числа $x$. Докажите, что число $\left[ \frac{(n-1)!}{n(n+1)} \right]$ является четным при любом натуральном $n$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Докажите, что $({{a}^{2}}+2)({{b}^{2}}+2)({{c}^{2}}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$ для любых действительных чисел $a, b, c > 0$.
комментарий/решение(12)

---