қазақша
русскийАзиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2010 год
Задача №1. Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle BAC \ne 90^{\circ}$.
Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$,
$\Gamma$ — описанная окружность треугольника $BOC$.
Предположим, что $\Gamma$ пересекает отрезок $AB$
в точке $P$, отличной от $B$, а отрезок $AC$ — в точке $Q$,
отличной от $C$. Пусть $ON$ — диаметр окружности $\Gamma$.
Докажите, что четырехугольник $APNQ$ — параллелограмм.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Для натурального числа $k$ назовем целое число
$\textit{точной k-ой степенью}$, если его можно представить
в виде $m^k$ для некоторого целого числа $m$.
Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют
$n$ различных натуральных чисел таких, что их сумма
является точной $2009$-ой степенью, а их произведение —
точной $2010$-ой степенью.
(Напоминаем, что $0$ не является натуральным числом.)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. На олимпиаде участвуют $n$ школьников ($n$ — натуральное число).
Любые два участника либо знакомы друг с другом,
либо не знакомы.
Каково наибольшее возможное количество пар участников, которые
не знакомы друг с другом, но имеют общего знакомого
среди других участников олимпиады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором $AB > BC$
и $AC > BC$. Обозначим через $O$ и $H$ центр описанной окружности
и ортоцентр треугольника $ABC$, соответственно. Предположим,
что описанная окружность треугольника $AHC$ пересекает прямую
$AB$ в точке $M$, отличной от $A$, а описанная окружность треугольника
$AHB$ пересекает прямую $AC$ в точке $N$, также отличной от $A$.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника $MNH$
лежит на прямой $OH$.
(
А. Баев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Пусть $\mathbb{R}$ — множество действительных чисел.
Определите все функции $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$,
которые для любых
$x, y, z \in \mathbb{R}$ удовлетворяют уравнению
$$f(f(x) + f(y) + f(z)) = f(f(x) - f(y)) + f(2xy + f(z)) + 2f(xz-yz).$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)