Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2010 год


Задача №1.  Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle BAC \ne 90^{\circ}$. Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $\Gamma$ — описанная окружность треугольника $BOC$. Предположим, что $\Gamma$ пересекает отрезок $AB$ в точке $P$, отличной от $B$, а отрезок $AC$ — в точке $Q$, отличной от $C$. Пусть $ON$ — диаметр окружности $\Gamma$. Докажите, что четырехугольник $APNQ$ — параллелограмм.
комментарий/решение
Задача №2.  Для натурального числа $k$ назовем целое число $\textit{точной k-ой степенью}$, если его можно представить в виде $m^k$ для некоторого целого числа $m$. Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют $n$ различных натуральных чисел таких, что их сумма является точной $2009$-ой степенью, а их произведение — точной $2010$-ой степенью. (Напоминаем, что $0$ не является натуральным числом.)
комментарий/решение
Задача №3.  На олимпиаде участвуют $n$ школьников ($n$ — натуральное число). Любые два участника либо знакомы друг с другом, либо не знакомы. Каково наибольшее возможное количество пар участников, которые не знакомы друг с другом, но имеют общего знакомого среди других участников олимпиады?
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором $AB > BC$ и $AC > BC$. Обозначим через $O$ и $H$ центр описанной окружности и ортоцентр треугольника $ABC$, соответственно. Предположим, что описанная окружность треугольника $AHC$ пересекает прямую $AB$ в точке $M$, отличной от $A$, а описанная окружность треугольника $AHB$ пересекает прямую $AC$ в точке $N$, также отличной от $A$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $MNH$ лежит на прямой $OH$. ( А. Баев )
комментарий/решение
Задача №5.  Пусть $\mathbb{R}$ — множество действительных чисел. Определите все функции $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, которые для любых $x, y, z \in \mathbb{R}$ удовлетворяют уравнению $$f(f(x) + f(y) + f(z)) = f(f(x) - f(y)) + f(2xy + f(z)) + 2f(xz-yz).$$
комментарий/решение
результаты