Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2014 год


Задача №1.  Для натурального числа $m$ обозначим через $S(m)$ и $P(m)$ сумму и произведение его цифр, соответственно. Докажите, что для любого натурального $n$ существуют натуральные числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющие следующим условиям: $$ S(a_1) < S(a_2) < \dots < S(a_n) \text{ и } S(a_{i}) = P(a_{i+1}) \quad (i = 1,2,\ldots, n). $$ (Мы полагаем $a_{n+1} = a_1$.) ( Japan )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть $S = \{ 1,2,\ldots, 2014\}.$ Для каждого непустого подмножества $T \subseteq S$ должен быть выбран один из его элементов в качестве его $\it представителя$. Найдите количество всех способов выбора представителей для всех непустых подмножеств $S$, обладающих свойством: если какое-либо подмножество $D \subseteq S$ является объединением попарно непересекающихся непустых подмножеств $A, B, C \subseteq S$, то представитель $D$ также является представителем по крайней мере одного из подмножеств $A, B, C.$ ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Найдите все натуральные $n$, для которых при любом целом $k$ существует такое целое $a$, что $a^3 + a - k$ кратно $n$. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть $n$ и $b$ — натуральные числа. Число $n$ назовем $b\,—\it{различимым}$, если существует такое множество из $n$ различных натуральных чисел, меньших $b$, что в нем нет двух различных подмножеств с одинаковой суммой элементов.
(а) Докажите, что число $8$ является $100\,$— различимым.
(б) Докажите, что число $9$ не является $100\,$— различимым. ( Australia )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Окружности $\omega$ и $\Omega$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Пусть $M$ — середина дуги $AB$ окружности $\omega$ ($M$ лежит внутри $\Omega$). Хорда $MP$ окружности $\omega$ пересекает $\Omega$ в точке $Q$ ($Q$ лежит внутри $\omega$). Пусть $\ell_P$ — касательная к окружности $\omega$ в точке $P$, а $\ell_Q$ — касательная к окружности $\Omega$ в точке $Q$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного при пересечении прямых $\ell_P$, $\ell_Q$ и $AB$, касается $\Omega$. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(1)
результаты