Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс


Задача №1.  Пусть $x,y,z$ — действительные числа, для которых справедливо неравенство $x+y+z > \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Докажите, что $x+y+z > \sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}$.
комментарий/решение(5)
Задача №2.  Найдите все натуральные числа $a$, для которых $\dfrac{3^a-2^a}{2^a-1}$ является квадратом некоторого рационального числа.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, в котором $AB=BC$, взяты точки $M$ и $N$ соответственно так, что описанная около треугольника $AMN$ окружность касается стороны $BC$ в точке $P$. Пусть $Q$ — вторая точка пересечения прямой $MP$ с описанной около треугольника $CNP$ окружностью. Найдите отношение $AP/QM$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Назовём медиану треугольника хорошей, если она равна одной из его сторон. Смогут ли все три медианы треугольника быть хорошими?
комментарий/решение(3)
Задача №5.  Докажите, что из любых пяти различных положительных чисел можно выбрать два числа, ни сумма, ни разность которых не равны ни одному из оставшихся чисел.
комментарий/решение(2)
Задача №6.  Пусть $n$ — натуральное число. Через $P_k(n)$ обозначим произведение всех его делителей, кратных $k$ (пустое произведение равно 1). Докажите, что произведение $P_1(n)\cdot P_2(n)\cdot ... \cdot P_n(n)$ является квадратом некоторого натурального числа.
комментарий/решение(1)