Областная олимпиада по математике, 2015 год, 10 класс


Задача №1.  Пусть $x,y,z$ — действительные числа, для которых справедливы соотношения $x \geq \dfrac{1}{2}$, $y \geq \dfrac{1}{2}$, $z \geq \dfrac{1}{2}$ и $xyz=1$. Докажите неравенство \[ 3 + x + y + z \leq 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right). \]
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Решите уравнение $a^5=a^3bc+b^2c$ в целых числах $a,b,c$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Прямоугольник вписан в треугольник, если все его вершины лежат на сторонах треугольника. Докажите, что геометрическим местом центров (точек пересечения диагоналей) всех вписанных в данный остроугольный треугольник прямоугольников являются три пересекающихся в одной точке незамкнутых отрезка.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть $n$ — натуральное число. Через $P_k(n)$ обозначим произведение всех его делителей, кратных $k$ (пустое произведение равно 1). Докажите, что произведение $P_1(n)\cdot P_2(n)\cdot \dots \cdot P_n(n)$ является квадратом некоторого натурального числа.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите количество перестановок $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ набора $(1,2,\dots,n)$, удовлетворяющих условиям $x_i< x_{i+2}$ при $1 \leq i \leq n-2$, $x_i< x_{i+3}$ при $1 \leq i \leq n-3$. Здесь $n \geq 4$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle ABC = 30 ^\circ$, $AB >AC$ и $\angle BAC$ — тупой. Внутри этого треугольника выбрана такая точка $D$, что $BD=CD$ и $\angle BDA=3\angle BCA$. Найдите угол $ACD$.
комментарий/решение(2)