Областная олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс


Задача №1.  Докажите, что для любого натурального числа $n$ справедливо неравенство \[ \dfrac{1}{{2^2 }} + \dfrac{1}{{3^2 }} + \ldots + \dfrac{1}{{(n + 1)^2 }} < n\left( {1 - \sqrt[n]{{\dfrac{1}{2}}}} \right). \]
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Решите уравнение $x^y \cdot y^x = (x+y)^z$ в натуральных числах $x,y,z$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Прямоугольник вписан в треугольник, если все его вершины лежат на сторонах треугольника. Докажите, что геометрическим местом центров (точек пересечения диагоналей) всех вписанных в данный остроугольный треугольник прямоугольников являются три пересекающихся в одной точке незамкнутых отрезка.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть $n$ — натуральное число. Через $P_k(n)$ обозначим произведение всех его делителей, кратных $k$ (пустое произведение равно 1). Докажите, что произведение $P_1(n)\cdot P_2(n)\cdot \dots \cdot P_n(n)$ является квадратом некоторого натурального числа.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите количество перестановок $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ набора $(1,2,\dots,n)$, удовлетворяющих условиям $x_i< x_{i+2}$ при $1 \leq i \leq n-2$, $x_i< x_{i+3}$ при $1 \leq i \leq n-3$. Здесь $n \geq 4$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Окружность диаметра $d$ вписана в выпуклый четырёхугольник $ABCD$ и касается сторон $BC$ и $DA$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите или опровергните следующее утверждение: среднее гармоническое сторон $AB$ и $CD$ равно отрезку $KL$ тогда, и только тогда, когда среднее геометрическое сторон $AB$ и $CD$ равно $d$. (Средним гармоническим положительных чисел $a$ и $b$ называется число $\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}$, а средним геометрическим — число $\sqrt{ab}$.)
комментарий/решение(1)