қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс
Задача №1. Дано натуральное число $a$. Докажите, что для любого натурального $m$ существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что количество делителей числа $n{{a}^{n}}+1$ делится на $m$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Точки $K$ и $M$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Отрезки $AK$ и $BM$ пересекаются в точке $N$, а отрезки $KD$ и $CM$ — в точке $ L$. Оказалось, что полученный четырехугольник $KLMN$ — вписанный. Пусть описанные окружности треугольников $BNK$ и $AMN$ во второй раз пересекаются в точке $Q$, а описанные окружности треугольников $KLC$ и $DML$ — в точке $P$. Докажите, что у четырехугольников $KLMN$ и $KPMQ$ площади равны.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. На плоскости заданы 2015 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и никакие четыре на одной окружности. Рассмотрим окружности, проходящие через три точки из данного множества и разбивающие остальные пополам, то есть 1006 лежит внутри окружности, а 1006 вне нее. Докажите, что найдутся хотя бы три окружности из рассмотренных, которые пересекающиеся по двум точкам из данного множества.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. В треугольнике $ABC$ точка $N$ — основание биссектрисы угла $C$, точка $M$ — середина стороны $AB$, а $\omega$ — описанная около него окружность. Прямая $CN$ во второй раз пересекает $\omega$ в точке $D$. На отрезках $AD$ и $BD$ взяты точки $K$ и $L$ соответственно, так, что $\angle ACK=\angle BCL$. Пусть описанные окружности треугольников $ACK$ и $BCL$ во второй раз пересекаются в точке $P$, а $Q$ — точка пересечения прямых $DM$ и $ KL$. Докажите, что точки $M,N,P, Q$ лежат на одной окружности.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Найдите все такие пары натуральных чисел $(n,k)$, что число $(n+1)(n+2) \dots (n+k)-k$ является полным квадратом.
(
Ильясов С.,
Овчинников Д.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №6. Последовательность $\{{{a}_{n}}\}$ определяется следующим образом: ${{a}_{1}}=2015$, ${{a}_{2}}={{2}^{2015}}$ и при всех натуральных $n\ge 1$
\[{a_{n + 2}} = {a_n} + \left\lceil {\frac{{{a_{n + 1}}}}{n}} \right\rceil .\]
Докажите, что существуют натуральные числа $M$ и $c$ такие, что при всех $n\ge M$ число $n{{a}_{{{a}_{n}}}}+c$ будет точной степенью. (Здесь $\left\lceil x \right\rceil $ — верхняя целая часть числа $x$, то есть наименьшее целое число, которое не меньше $x$. Число называется точной степенью, если оно представимо в виде ${{m}^{k}}$ для некоторых целых $m > 1$ и $k > 1$.)
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)