23-я Балканская математическая олимпиада
Агрос, Кипр, 2006 год

Задача №1.  Пусть $a$, $b$ и $c$ являются действительными положительными числами. Докажите, что \[\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\ge \frac{3}{1+abc}.\]
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Пусть заданы треугольник $ABC$ и прямая $m$, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ внутренним образом соответственно в точках $D$ и $F$, и продолжение $BC$ в точке $E$ (точка $C$ находится между точками $B$ и $E$). Прямые, параллельные прямой $m$ и проходящие через точки $A$, $B$ и $C$, пересекают заново описанную окружность треугольника $ABC$ соответственно в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $A_1E$, $B_1F$ и $C_1D$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(4)

---

Задача №3.  Найдите все тройки $(m, n, p)$ положительных рациональных чисел таких, что все числа \[m+\frac{1}{np}, \quad n+\frac{1}{pm}, \quad p+\frac{1}{mn}\] являются целыми.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Пусть $m$ является целым положительным числом. Найдите все целые положительные числа $a$ такие, что последовательность $\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }$, определенная условиями $a_0 = a$ и при $n = 0, 1, \dots$ \[{{a}_{n+1}}=\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2}{{a}_{n}}, \text{ при четном }{{a}_{n}}, \\ {{a}_{n}}+m, \text{ при нечетном }{{a}_{n}}, \\ \end{matrix} \right.\] является периодической с циклом вида $a_0, a_1, \dots, a_k$ для некоторого $k$.
комментарий/решение(3)

---