28-я Балканская математическая олимпиада
Яссы, Румыния, 2011 год


Задача №1.  Пусть $ABCD$ вписанный четырехугольник, который не является трапецией и диагонали которого пересекаются в точке $E$. Точки $F$ и $G$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно, а $l$ — прямая проходящая через $G$, параллельная $AB$. $H$ и $K$ основания перпендикуляров из $E$ на прямые $l$ и $CD$ соответственно. Докажите, что прямые $EF$ и $HK$ перпендикулярны.
комментарий/решение
Задача №2.  Даны действительные числа $x, y$ и $z$ такие, что выполняется условие: $x+y+z=0$, показать что $$ \frac {x(x+2)}{2x^2+1}+\frac {y(y+2)}{2y^2+1}+\frac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0. $$ При каких $x,y,z$ выполняется равенство?
комментарий/решение
Задача №3. Пусть $S$ конечное множество натуральных чисел, которое имеет следующее свойство: если $x$ — элемент $S$, то и все положительные делители $x$ также принадлежат $S$. Непустое подмножество $T$ множества $S$ назовем хорошим, если для любых чисел $x, y\in T$ и $x < y$ отношение $y/x$ является степенью простого числа. Непустое подмножество $T$ множества $S$ назовем плохим, если для любых чисел $x, y\in T$ и $x < y$, отношение $y/x$ не является степенью простого числа. Условимся, что одноэлементное подмножество $S$ одновременно является и хорошим и плохим. Пусть $k$ максимально возможный размер хорошего подмножества $S$. Докажите, что $k$ также является наименьшим числом попарно-непересекающихся плохих подмножеств, объединение которых дает множество $S$.
комментарий/решение
Задача №4. Пусть $ABCDEF$ выпуклый шестиугольник площади 1, противоположные стороны которого параллельны друг другу. Пары прямых из $AB$, $CD$ и $EF$ определяют вершины некоторого треугольника, а пары прямых из $BC$, $DE$ и $FA$ определяют вершины другого треугольника. Докажите, что по крайней мере площадь одного из этих двух треугольников не менее $3/2$.
комментарий/решение
результаты