30-я Балканская математическая олимпиада
Агрос, Кипр, 2013 год


Задача №1.  Вневписанная окружность $\omega_a$ треугольника $ABC$, соответствующая вершине $A$, касается прямой $AB$ в точке $P$ и прямой $AC$ в $Q$; а вневписанная окружность $\omega_b$, соответствующая вершине $B$, касается прямой $BA$ в точке $M$ и прямой $BC$ в $N$. Пусть $K$ — проекция точки $C$ на прямую $MN$, а $L$ — проекция точки $C$ на прямую $PQ$. Докажите, что четыре точки $M,K,L,P$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение
Задача №2.  Решите уравнение $x^5 + 4^y = 2013^z$ в положительных целых числах $x$, $y$ и $z$.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $S$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f\colon S^3 \to S$ такие, что для всех положительных действительных чисел $x$, $y$, $z$ и $k$ выполнены все три условия:
(a) $xf(x,y,z) = zf(z,y,x)$,
(b) $f(x, ky, k^2z) = kf(x,y,z)$,
(c) $f(1, k, k+1) = k+1$.
комментарий/решение
Задача №4.  Некоторые участники математической олимпиады между собой дружат (дружба считается взаимной: если $ A $ является другом $ B $, то $ B $ также друг $ A $). Будем считать, что различные участники $A_1, A_2, \ldots, A_n$, где $n \geq 3$, образуют слабо-дружественный цикл, если $A_i$ не дружит с $A_{i+1}$, для всех $1 \leq i \leq n$ (здесь $A_{n+1} = A_1$), и не существует других недружащих пар цикла. При этом выполнены следующие свойства:
Для любого участника $C$ и любого слабо-дружественного цикла $S$, не содержащего $C$, множество $D$ участников из $S$, которые не являются друзьями $C$, состоит как максимум из одного элемента.
Докажите, что всех участников этой олимпиады можно рассадить по трём комнатам таким образом, чтобы любые два участника из одной и той же комнаты были друзьями.
комментарий/решение
результаты