Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2012 год

Задача №1.  На координатной плоскости $xOy$ нарисована парабола $y={{x}^{2}}$. Пусть $A$, $B$ и $C$ различные точки этой параболы. Определим точку ${{A}_{1}}$, как точку пересечения прямой $BC$ и оси $Oy$. Аналогично определим точки ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$. Доказать, что сумма расстоянии от точек $A$, $B$ и $C$ до оси $Ox$ больше суммы расстоянии от точек ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ до оси $Ox$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В клетках квадратной таблицы $2013\times 2013$ записано число $1$ или $-1$. Пусть ${{A}_{i}}$ – произведение всех чисел строки $i$, а ${{B}_{i}}$ – произведение всех чисел столбца $i$. Может ли сумма $\sum\limits_{i=1}^{2013}{({{A}_{i}}+{{B}_{i}})}$ равняться нулю?
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(BC=AC)$ на биссектрисе $BN$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=KC$ и $KN=NA$. Найдите углы треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Пусть дано натуральное число $n$, а $m$ — целое число из множества $\{0,\text{ }1,\text{ }...\text{ },\text{ }{{n}^{2}}-1\}$ такое, что число ${{x}^{n}}+{{y}^{n}}-m$ не делится на ${{n}^{2}}$ ни при каких целых $x$ и $y$. Докажите, что количество таких $m$ не меньше $\frac{n(n-1)}{2}$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---