Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2013 год


Задача №1.  Дана бесконечная периодическая десятичная дробь вида $0,\!{{a}_{1}}{{a}_{2}}\ldots {{a}_{r}}({{b}_{1}}{{b}_{2}}\ldots {{b}_{s}})=\dfrac{m}{n}$, у которой до начала периодической части присутствует хотя бы один дробный разряд, где $m,n$ — натуральные числа. Докажите, что $n$ делится на 2 или на 5.
комментарий/решение
Задача №2.  $x > 1$, $y > 1$, $z > 1$ — такие действительные числа, что $\dfrac{1}{{{x}^{2}}-1}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}-1}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}-1}=1$. Докажите, что $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\le 1$.
комментарий/решение
Задача №3.  На прямой, содержащей высоту $A{{A}_{1}}$, треугольника $ABC$ $(\angle B\ne 90{}^\circ )$, взята точка $F$ отличная от точек $A$ и ${{A}_{1}}$ так, что прямые $BF$ и $CF$ пересекают прямые $AC$ и $AB$ в точках ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ соответственно. Из точек $B$ и $F$ опущены перпендикуляры $BP$, $BQ$, $FS$, $FR$ на прямые ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ и ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$. Докажите, что прямые $PQ$, $SR$ и $B{{B}_{1}}$ пересекаются в одной точке.
а) Решите задачу, когда $F$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$.
б) Решите задачу для произвольной точки $F$.
комментарий/решение
Задача №4.  Прямоугольная решетка состоит из 4 горизонтальных и 7 вертикальных прямых. Некоторые узлы решетки покрашены, общее количество таких узлов равно 14. Докажите, что найдется хотя бы один прямоугольник с вершинами в покрашенных узлах со сторонами параллельными линиям решетки.
комментарий/решение