Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2014 год


Задача №1.  Прямая $l$ — касательная к окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника $ABC$, проведенная в точке $B$. Точка $K$ — проекция ортоцентра треугольника на прямую $l$, а точка $L$ — середина стороны $AC$. Докажите, что треугольник $BKL$ является равнобедренным.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все пары целых чисел $\left( p,q \right)$, для которых оба уравнения ${{x}^{2}}+px+q=0$ и ${{x}^{2}}+qx+p=0$ имеют целые корни.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Множество $A$ состоят из целых чисел, его наименьший элемент равен 1, а наибольший элемент равен 100. Каждый элемент множества $A$, кроме 1, равен сумме двух друга (возможно, равных) чисел, принадлежащих множеству $A$. Какое минимальное число элементов может содержать множество $A$, удовлетворяющие данным условиям?
комментарий/решение
Задача №4.  Сумма положительных чисел $a$, $b$ и $c$ равна 1. Докажите неравенство $\dfrac{{{a}^{2}}+3ab}{a+b}+\dfrac{{{b}^{2}}+3bc}{b+c}+\dfrac{{{c}^{2}}+3ca}{c+a}\le 2$.
комментарий/решение(1)