Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2004 жыл

Есеп №1. Әрбір ${{x}^{2}}+ax+b=0$ және ${{x}^{2}}+bx+a=0$ теңдеулерінің әр түрлі екі рационал түбірлері бар. Ол төрт түбірлер қандай да бір тәртіппен арифметикалық прогрессия құрайды. $a$ мен $b$-ны табыңдар.
комментарий/решение

---

Есеп №2. Теңдікті дәлелдеңдер: $\cos \dfrac{\pi }{20}\cdot \cos \dfrac{3\pi }{20}\cdot \cos \dfrac{7\pi }{20}\cdot \cos \dfrac{9\pi }{20}+\cos \dfrac{\pi }{15}\cdot \cos \dfrac{2\pi }{15}\cdot \cos \dfrac{4\pi }{15}\cdot \cos \dfrac{8\pi }{15}=0.$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Теңсіздікті дәлелдеңдер: $\left( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right)\left( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right)\ge 27\cdot {{S}^{2}}.$ Мұндағы ${{m}_{a}},{{m}_{b}},{{m}_{c}}$ — үшбұрыш медианалары, ${{h}_{a}},{{h}_{b}},{{h}_{c}}$ — үшбұрыш биіктіктері, $S$ — үшбұрыш ауданы.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Залда 100 адам бар. Олар әрқайсысы кем дегенде қалғандарының 67-мен таныс. Залда кез келген екеуі бір-бірімен таныс болатын төрт адамның табылатынын дәлелде.
комментарий/решение

---

Есеп №5. $9\times 9$ өлшемді тақтаның әр шаршысында қоңыздан отыр. Олар бір уақытта диагональ бойымен көршілес шаршыға ауысады. Кейбір шаршыларда бірнеше қоңыздан, ал кейбір шаршылар бос қалуы мүмкін. Қоңыздар көрші шаршыға ауысқаннан кейін, бос қалатын шаршылардың ең кіші мүмкін санын табыңдар.
комментарий/решение

---

Есеп №6. Шеңбер бойында дұрыс 100-бұрышты көпбұрыштың төбелері болатын 100 нүкте берілген. Оның кез келген оны қызыл түске, оны көк түске боялған. Қызыл түсті нүктелерді қосатын хордалардың ішінен көк түсті нүктелерді қосатын хордалардың біреуіне тең хорданың табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №7. Кез келген $ a,b,c > 0$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңдер: $\left( a+b \right)\left( a+c \right)\ge 2\sqrt{abc\left( a+b+c \right)}.$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №8. $ABC$ үшбұрышының ішінен $AOB$, $BOC$ және $COA$ үшбұрыштарының аудандарының қатынасы $1:2:3$ болатындай $O$ нүктесін табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №9. $ABCD$ төртбұрышының диагональдары $O$ нүктесінде қиылысады. $\angle AOD=120^\circ $, $AO=OD$ екені белгілі. $E$ — $BC$ қабырғасындағы кез келген нүкте. $AB$ және $CD$ қабырғаларынан $KE \parallel AC$ және $PE \parallel BD$ болатындай сәйкесінше $K$ және $P$ нүктелері алынған. $KEP$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $AD$ қабырғасында жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №10. Жайылымдағы шөптер біркелкі және бірдей шапшаңдықпен өседі. 70 сиырдың жайылымдағы шөпті 24 күнде, ал 30 сиыр 60 күнде бітіретіні белгілі. Жайылымдағы шөпті 96 күнде қанша сиыр жеп бітеді? (Ньютон есебі)
комментарий/решение(1)

---