Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2011 год

Задача №1.  Разложите многочлен ${{x}^{8}}+98{{x}^{4}}{{y}^{4}}+{{y}^{8}}$ в произведение двух многочленов с целочисленными коэффициентами.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Многоугольник, описанный вокруг окружности радиусом $r$, каким-то образом разрезан на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше $r$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Найдите все целые числа $m$ и $n$, для которых имеет место равенство ${{\left( 5+3\sqrt{2} \right)}^{m}}={{\left( 3+5\sqrt{2} \right)}^{n}}$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  В школе работают несколько кружков. Известно, что для любых $k$ кружков ($k=1,2,\ldots $ ) количество ребят, которые пришли бы на совместное заседание этих кружков не меньше $k$. Докажите, что можно выбрать в каждом кружке старосту, так чтобы никто не был старостой сразу двух кружков.
комментарий/решение

---

Задача №5.  Верно ли, что число $A=1005!-{{\left( -1 \right)}^{m}}$ делится на 2011 при некотором целом $m$?
комментарий/решение

---

Задача №6.  Опустим из любой точки $P$ биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ перпендикуляры $P{{A}_{1}}$, $P{{B}_{1}}$, $P{{C}_{1}}$ на его стороны $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Пусть $R$ — точка пересечения прямых $P{{A}_{1}}$ и ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ Докажите, что прямая $AR$ делит сторону $BC$ пополам.
комментарий/решение(5)

---

Задача №7.  Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы покрасить в белый и черный цвета так, чтобы белых и черных клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более 3/4 клеток одного цвета?
комментарий/решение

---

Задача №8.  Пусть $d$ — натуральное число. Пусть $a$ — наименьшее натуральное число, для которого существует такое натуральное число $b$, что ${{a}^{2}}-d{{b}^{2}}=1$. Если $x,y$ — целые числа, такие что ${{x}^{2}}-d{{y}^{2}}=1$ и $x+y\sqrt{d} > 0$, то для некоторого целого числа $n$ верно равенство $x+y\sqrt{d}={(a+b\sqrt{d} )^n}$.
комментарий/решение(2)

---