қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2015 год
Задача №1. Найдите все натуральные числа $n$, для которых можно расставить фишки на клетках шахматной доски $n\times n$ (в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы на любых двух горизонталях фишек было поровну, а на любых двух вертикалях — не поровну?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть дан треугольник $ABC$, $BC < AB$. Пусть $E$, $D$ середины отрезков $BA$, $AC$ соответственно. На луче $DE$ выбрана точка $F$ так, что $DF=2DE$. Докажите, что $2FA_1 < AB+BC+CA$, где $A_1$ — произвольная точка отрезка $BC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Каждый из пассажиров автобуса получил билет с шестизначным номером, причем все номера билетов — последовательные числа. Какое наибольшее количество пассажиров могло ехать в автобусе, если у ровно у 1/14 из них в номере билета есть цифра 7.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Натуральное число называется монотонным, если в его десятичной записи цифры расположены в неубывающем порядке. Например, число 1112257788889 является монотонным. Докажите, что для всякого натурального $n$ существует монотонное число из $n$ цифр, которое является квадратом некоторого монотонного числа.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Существует ли неравнобедренный треугольник, который можно разрезать на 2015 различных равнобедренных треугольников?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Решите систему уравнений $\left\{ \begin{matrix}
\begin{matrix}
2x\left( 1+y+{{y}^{2}} \right)=3\left( 1+{{y}^{4}} \right), \\
2y\left( 1+z+{{z}^{2}} \right)=3\left( 1+{{z}^{4}} \right), \\
\end{matrix} \\
2z\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)=3\left( 1+{{x}^{4}} \right). \\
\end{matrix} \right.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Найдите наибольшее натуральное число $m$ такое, что число $n^4+7(7+2n^2$) делится на $2m$ при некотором натуральном $n \leq 305$.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №8. Пусть дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ отмечены точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ соответственно. Пусть $E$ — основание высоты, опущенной из точки $A_1$ на прямую $B_1C_1$. Докажите, что $EA_1$ является биссектрисой треугольника $BEC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)