5-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Никосия, Кипр, 2001 год


Задача №1.  Решите уравнение $a^3+b^3+c^3=2001$ в натуральных числах. ( Romania )
комментарий/решение
Задача №2.  В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$ и $CA \neq CB$. Пусть $CH$ — высота и $CL$ биссектриса. Докажите, что для любой точки $X$ прямой $CL$, отличной от $C$, углы $\angle XAC$ и $ \angle XBC$ будут отличны. Также докажите, что для любой точки прямой $CH$, отличной от $C$, углы $\angle YAC$ и $ \angle YBC$ отличны. ( Bulgaria )
комментарий/решение
Задача №3.  В равностороннем треугольнике $ABC$ точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Если $DF$ и $EF$ ($F\in AE$, $G\in AD$) — биссектрисы углов треугольника $ADE$, докажите что сумма площадей треугольников $DEF$ и $DEG$ не превышает площади треугольника $ABC$. При каких условиях выполняется равенство? ( Greece )
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $N$ — выпуклый 1415-угольник с периметром 2001. Докажите, что существует 3 вершины из $N$, которые образуют треугольник площади, меньше 1. ( Yugoslavia )
комментарий/решение