8-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Нови-Сад, Югославия, 2004 год


Задача №1.  Для любых действительных чисел $x$ и $y$, не равных одновременно нулю, докажите неравенство $ \dfrac{ x+y}{x^2-xy+y^2 } \leq \dfrac{ 2\sqrt 2 }{\sqrt{ x^2 +y^2 } } .$
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Дан равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AC=BC$. Точка $M$ — середина стороны $AC$, а прямая $Z$ — серединный перпендикуляр отрезка $AB$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $M$, пересекает прямую $Z$ в точках $C$ и $Q$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$, выразив её через длину отрезка $ CQ$ равную $m$.
комментарий/решение
Задача №3.  Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что оба числа $3x + 4y$ и $4x + 3y$ одновременно являются полными квадратами. Докажите, что каждое из чисел $x$ и $y$ делится на $7$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Рассмотрим выпуклый $n$-угольник $(n \geq 4)$. Разобьём многоугольник произвольным образом на треугольники так, что их вершины являются вершинами многоугольника, и любые два треугольника не пересекаются. Покрасим в чёрный цвет те треугольники, у которых две стороны являются сторонами многоугольника; в красный цвет — те треугольники, у которых только одна сторона является стороной многоугольника; в белый цвет — те треугольники, у которых стороны не являются сторонами многоугольника.
Докажите, что чёрных треугольников да два больше чем белых.
комментарий/решение