12-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Влёра, Албания, 2008 год


Задача №1.  Определите все четверки действительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$, для которых выполнена система равенств \[ \left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\ ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.\]
комментарий/решение
Задача №2.  Вершины $ A$ и $ B$ правильного треугольника $ ABC$ лежат на окружности единичного радиуса $k$, а вершина $ C$ — внутри $ k$. Точка $ D$, отличная от $ B$, лежит на окружности $ k$ так, что $ AD=AB$. Прямая $ DC$ пересекает $ k$ во второй раз в точке $ E$. Найдите длину отрезка $ CE$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Найдите все тройки простых чисел $ p,q,r$, для которых верно равенство $ \dfrac{p}{q}-\dfrac{4}{r+1}=1$
комментарий/решение
Задача №4.  Таблица размера $ 4\times 4$ разделена на $16$ единичных клеток белого цвета. Две клетки считаются соседними, если они имеют общую сторону. Ход состоит в выборе клетки и перекрашивании соседей с белого на черный или с черного на белый. Ровно через $n$ ходов все $16$ былых клеток стали черными. Найдите все возможные значения $n$.
комментарий/решение