14-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Жудец Вылча, Румыния, 2010 год


Задача №1.  Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ одновременно удовлетворяют уравнениям $abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.$ Докажите, что $a + b + c + d \not = 0$.
комментарий/решение
Задача №2.  Найдите все натуральные $n$ такие, что $n \cdot 2^{n+1}+1$ — точный квадрат.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Пусть $AL$ и $BK$ — биссектрисы неравнобедренного треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к биссектрисе $BK$ пересекает прямую $AL$ в точке $M$. Точка $N$ лежит на прямой $BK$ так, что $LN$ параллельна $MK$. Докажите, что $LN=NA$.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Прямоугольник $9 \times 7$ замощен фигурами двух типов:
1) уголок, состоящий из трёх единичных квадратиков (уголок можно неоднократно поворачивать на $90^\circ$);
2) квадрат, состоящий из четырёх единичных квадратиков.
Пусть $ n \ge 0$ — количество фигур второго типа, используемых в замощении. Найдите всевозможные значения $n$.
комментарий/решение
результаты