34-я Международная Математическая Oлимпиада
Турция, Стамбул, 1993 год

Задача №1.  Пусть $f\left( x \right)={{x}^{n}}+5{{x}^{n-1}}+3$, где $n > 1$ — целое число. Доказать, что $f\left( x \right)$ нельзя представить в виде произведения двух многочленов положительной степени с целыми коэффициентами.
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Дан остроугольный треугольник $ABC$ и точка $D$ внутри него такая, что $\angle ABC=\angle ACB+90{}^\circ $ и $AC\cdot BD=AD\cdot BC$.
а) Вычислить значение отношения $\dfrac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}$.
б) Доказать, что касательные, проведенные в точке $C$ к окружностям, описанным около треугольников $ACD$ и $BCD$, перпендикулярны.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  На бесконечной шахматной доске происходит следующая игра. В начале ${{n}^{2}}$ фишек занимают квадратное поле $n\times n$, по одной фишке в каждой клетке. Ход заключается в том, что какая-то фишка перепрыгивает в горизонтальном или вертикальном направлении через одну соседнюю занятую клетку на свободную клетку сразу за ней. При этом фишка, через которую перепрыгнули, снимается с доски. Найти все значения $n$, для которых в такой игре можно оставить на доске только одну фишку.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Для трех точек $P$, $Q$, $R$ на плоскости через $m\left( PQR \right)$ обозначим наименьшую из длин высот треугольника $PQR$ (если точки $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой, то $m\left( PQR \right)=0$). Пусть на плоскости даны точки $A$, $B$, $C$. Доказать, что для любой точки $X$ этой плоскости $$m\left( ABC \right)\le m\left( ABX \right)+m\left( AXC \right)+m\left( XBC \right).$$
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Пусть $N=\left\{ 1,2,3,\ldots \right\}$. Выяснить, существует ли функция $f:N\to N$ такая, что $f\left( 1 \right)=2$, $f(f(n))=f(n)+n$ для всех $n\in N$ и $f(n) < f(n+1)$ для всех $n\in N$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №6.  Пусть $n$ — целое число, большее 1. По окружности расположены $n$ ламп ${{L}_{0}}$, $\ldots $, ${{L}_{n-1}}$. Каждая лампа может быть в состоянии «включена» или «выключена». Последовательность шагов ${{S}_{0}}$, ${{S}_{1}}$, $\ldots $, ${{S}_{i}}$, $\ldots $ определяется следующим образом. Шаг ${{S}_{j}}$ влияет только на состояние лампы ${{L}_{j}}$ (и не влияет на состояние остальных ламп) так, что когда ${{L}_{j-1}}$ включена, шаг ${{S}_{j}}$ изменяет состояние ${{L}_{j}}$: если ${{L}_{j}}$ была включена, то станет выключена; если ${{L}_{j}}$ была выключена, то станет включена; когда же ${{L}_{j-1}}$ выключена, шаг ${{S}_{j}}$ ничего не меняет. (Лампы пронумерованы по модулю $n$, т. е. ${{L}_{-1}}={{L}_{n-1}}$, ${{L}_{0}}={{L}_{n}}$, ${{L}_{1}}={{L}_{n+1}}$ и т. д.)
Сначала все лампы были включены. Доказать, что:
а) существует положительное целое число $M\left( n \right)$ такое, что после $M\left( n \right)$ шагов опять все лампы будут включены;
б) если $n$ — число вида ${{2}^{k}}$, то после ${{n}^{2}}-1$ шагов все лампы будут включены;
в) если $n$ — число вида ${{2}^{k}}+1$, то после ${{n}^{2}}-n+1$ шагов все лампы будут включены.
комментарий/решение

---