қазақша
русскийМатематикадан 36-шы халықаралық олимпиада, 1995 жыл, Торонто
Есеп №1. $A$, $B$, $C$ және $D$ — бір түзудің бойында, көрсетілген ретпен орналасқан нүктелер. Диаметрлері $AC$ және $BD$ болатын шеңберлер $X$ және $Y$ нүктелерінде қиылысады. $XY$ және $BC$ түзулері $Z$ нүктесінде қиылысады. $XY$ түзуінде $Z$ нүктесінен өзге $P$ нүктесі берілсін. $CP$ түзуі диаметрі $AC$ болатын шеңберді $C$ және $M$ нүктелерінде, ал $BP$ түзуі диаметрі $BD$ болатын шеңберді $B$ және $N$ нүктелерінде қисын. $AM$, $DN$ және $XY$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $abc=1$ болатындай $a$, $b$, $c$ — оң сандары берілсін. Дәлелдеңіздер:
$\dfrac{1}{{{a}^{3}}\left( b+c \right)}+\dfrac{1}{{{b}^{3}}\left( c+a \right)}+\dfrac{1}{{{c}^{3}}\left( a+b \right)}\ge \dfrac{3}{2}.$
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №3. Келесі шарттар орындалып, жазықтықта ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots $, ${{A}_{n}}$ — $n$ нүктелері және ${{r}_{1}}$, ${{r}_{2}}$, $\ldots $, ${{r}_{n}}$ нақты сандары табылатындай $n > 3$ барлық бүтін сандарын табыңыздар:
а) ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots $, ${{A}_{n}}$ нүктелерінің кез келген ешбір үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайды;
б) кез келген $i,j,k$ ($1\le i < j < k\le n$) үштігі үшін ${{A}_{i}}{{A}_{j}}{{A}_{k}}$ үшбұрышының ауданы ${{r}_{i}}+{{r}_{j}}+{{r}_{k}}$ шамасына тең.
комментарий/решение
а) ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots $, ${{A}_{n}}$ нүктелерінің кез келген ешбір үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайды;
б) кез келген $i,j,k$ ($1\le i < j < k\le n$) үштігі үшін ${{A}_{i}}{{A}_{j}}{{A}_{k}}$ үшбұрышының ауданы ${{r}_{i}}+{{r}_{j}}+{{r}_{k}}$ шамасына тең.
комментарий/решение
Есеп №4. Келесі шарттар орындалып, ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{1995}}$ оң сандар тізбегі табылатындай ${{x}_{0}}$ ең үлкен мәнін табыңыздар:
а) ${{x}_{0}}={{x}_{1995}}$;
б) ${{x}_{i-1}}+\dfrac{2}{{{x}_{i-1}}}=2{{x}_{i}}+\dfrac{1}{{{x}_{i}}}$ барлық $i=1,2,\ldots ,1995$.
комментарий/решение(1)
а) ${{x}_{0}}={{x}_{1995}}$;
б) ${{x}_{i-1}}+\dfrac{2}{{{x}_{i-1}}}=2{{x}_{i}}+\dfrac{1}{{{x}_{i}}}$ барлық $i=1,2,\ldots ,1995$.
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $AB=BC=CD$, $DE=EF=FA$ и $\angle BCD=\angle EFA=60{}^\circ $ болатындай $ABCDEF$ дөңес алтыбұрыш берілсін. $G$ және $H$ — нүктелері $\angle AGB=\angle DHE=120{}^\circ $ орындалатындай алтыбұрыш ішіндегі нүктелер болсын. $AG+GB+GH+DH+HE\ge CF$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $p$ — тақ жай сан болсын. Келесі шарттар орындалатындай $\{1,2,\ldots ,2p\}$ жиынының $A$ ішкі жиындар санын табыңдар:
а) $A$ ішкі жиыннның дәл $p$ элементі бар;
б) $A$ ішкі жиынының барлық элементтерінің қосындысы $p$ -- ға бөлінеді .
комментарий/решение(1)
а) $A$ ішкі жиыннның дәл $p$ элементі бар;
б) $A$ ішкі жиынының барлық элементтерінің қосындысы $p$ -- ға бөлінеді .
комментарий/решение(1)