40-я Международная Математическая Oлимпиада
Румыния, Бухарест, 1999 год

Задача №1.  Найдите все конечные множества $S$ точек плоскости, содержащие не менее трех точек, удовлетворяющие следующему условию: для любых двух различных точек $A$ и $B$ из множества $S$ серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ является осью симметрии множества $S$.
комментарий/решение

---

Задача №2.  Пусть $n$ — целое число, $n\ge 2$.
а) Найдите наибольшее число $C$ такое, что неравенство $$\sum\limits_{i < j}{{{x}_{i}}}{{x}_{j}}\left( x_{i}^{2}+x_{j}^{2} \right)\le C{{\left( \sum\limits_{i}{{{x}_{i}}} \right)}^{4}} \quad \quad (1)$$ выполняется для всех неотрицательных действительных чисел ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, $\ldots $, ${{x}_{n}}$.
б) Для найденного числа $C$ определите условие, при котором неравенство (1) обращается в равенство.
комментарий/решение

---

Задача №3.  В квадрате клетчатой бумаги размером $n\times n$ клеток, где $n$ — четное число, отмечены $N$ клеток таким образом, что каждая клетка квадрата (отмеченная или неотмеченная) имеет хотя бы одну отмеченную соседнюю клетку. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.) Определите наименьшее возможное значение $N$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Найдите все пары $\left( n,p \right)$ натуральных чисел такие, что $p$ — простое, $n\le 2p$ и ${{\left( p-1 \right)}^{n}}+1$ делится на ${{n}^{p-1}}$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Две окружности ${{\Gamma }_{1}}$ и ${{\Gamma }_{2}}$, содержащиеся внутри окружности $\Gamma $, касаются $\Gamma $ в различных точках $M$ и $N$ соответственно. Окружность ${{\Gamma }_{1}}$ проходит через центр окружности ${{\Gamma }_{2}}$. Прямая, проходящая через две точки пересечения окружностей ${{\Gamma }_{1}}$ и ${{\Gamma }_{2}}$, пересекает окружность $\Gamma $ в точках $A$ и $B$. Прямые $MA$ и $MB$ пересекают ${{\Gamma }_{1}}$ в точках $C$ и $D$ соответственно. Докажите, что $CD$ касается ${{\Gamma }_{2}}$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такие, что $$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$$ для всех $x,y\in \mathbb{R}$.
комментарий/решение(1)

---