қазақша
русскийМатематикадан 40-шы халықаралық олимпиада, 1999 жыл, Бухарест
Есеп №1. Келесі шарттарды қанағаттандыратындай кем дегенде үш нүктесі бар, жазықтықтағы барлық ақырлы $S$ нүктелер жиынын табыңыздар: кез келген $S$ жиынының әр түрлі $A$ және $B$ нүктелері үшін $AB$ кесіндісінің орта перпендикуляры $S$ жиынының симметрия осі болып табылады.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $n\ge 2$ болатын $n$ бүтін саны берілсін.
а) Барлық теріс емес ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, $\ldots $, ${{x}_{n}}$ нақты сандары үшін $$\sum\limits_{i < j}{{{x}_{i}}}{{x}_{j}}\left( x_{i}^{2}+x_{j}^{2} \right)\le C{{\left( \sum\limits_{i}{{{x}_{i}}} \right)}^{4}} \qquad (1)$$ теңсіздігі орындалатындай $C$ ең үлкен мәнін табыңыздар.
б) Табылған $C$ мәні үшін (1) теңсіздігі теңдікке айналатындай шартты анықтаңыз.
комментарий/решение
а) Барлық теріс емес ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, $\ldots $, ${{x}_{n}}$ нақты сандары үшін $$\sum\limits_{i < j}{{{x}_{i}}}{{x}_{j}}\left( x_{i}^{2}+x_{j}^{2} \right)\le C{{\left( \sum\limits_{i}{{{x}_{i}}} \right)}^{4}} \qquad (1)$$ теңсіздігі орындалатындай $C$ ең үлкен мәнін табыңыздар.
б) Табылған $C$ мәні үшін (1) теңсіздігі теңдікке айналатындай шартты анықтаңыз.
комментарий/решение
Есеп №3. Өлшемі $n\times n$ болатын тор көзді қағаз квадраттық кестесінің әрбір тордың(белгіленген немесе белгіленбеген) кем дегенде бір белгіленген көрші торы болатындай $N$ тор белгіленген, мұндағы $n$ — жұп сан. (Көршілес торлар деп қабырғалары ортақ торларды айтамыз.) $N$ санының мүмкін болатын ең кіші мәнін табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $n\le 2p$ теңсіздігі орындалатындай және ${{\left( p-1 \right)}^{n}}+1$ саны ${{n}^{p-1}}$ --ге бөлінетіндей барлық $\left( n,p \right)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар. Мұндағы $p$ — жай сан.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\Gamma $ шеңберінің ішінде орналасқан ${{\Gamma }_{1}}$ және ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберлері $\Gamma $ шеңберін сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелерінде жанайды. ${{\Gamma }_{1}}$ шеңбері ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберінің центрі арқылы өтеді. ${{\Gamma }_{1}}$ және ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберлерінің қиылысу нүктелері арқылы өткен түзу $\Gamma $ шеңберін $A$ және $B$ нүктелерінде қияды. $MA$ және $MB$ түзулері ${{\Gamma }_{1}}$ шеңберін сәйкесінше $C$ және $D$ нүктелерінде қияды. $CD$ түзуі ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Барлық $x,y\in \mathbb{R}$ үшін $f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$ теңдігі орындалатындай барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)