41-я Международная Математическая Oлимпиада
Республика Корея, Тайджон, 2000 год

Задача №1.  Окружности ${{\Gamma }_{1}}$ и ${{\Gamma }_{2}}$ пересекаются в точках $M$ и $N$. Прямая $l$ — общая касательная к окружностям ${{\Gamma }_{1}}$ и ${{\Gamma }_{2}}$ такая, что точка $M$ расположена к прямой $l$ ближе, чем точка $N$. Прямая $l$ касается окружности ${{\Gamma }_{1}}$ в точке $A$, а окружности ${{\Gamma }_{2}}$ в точке $B$. Прямая, проходящая через точку $M$ параллельно $l$, пересекает вторично окружность ${{\Gamma }_{1}}$ в точке $C$, а окружность ${{\Gamma }_{2}}$ в точке $D$. Прямые $CA$ и $DB$ пересекаются в точке $E$, прямые $AN$ и $CD$ — в точке $P$, прямые $BN$ и $CD$ — в точке $Q$. Докажите, что $EP=EQ$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $abc=1$. Докажите, что $\left( a-1+\dfrac{1}{b} \right)\left( b-1+\dfrac{1}{c} \right)\left( c-1+\dfrac{1}{a} \right)\le 1.$
комментарий/решение(4)

---

Задача №3.  Дано натуральное число $n\ge 2$. Пусть сначала на горизонтальной прямой сидят $n$ блох, не все в одной точке. Для положительного числа $\lambda $ определим прыжок следующим образом: выбираются две блохи, сидящие в произвольных точках $A$ и $B$, причем $A$ левее $B$, и блоха, сидящая в $A$, прыгает в точку $C$, расположенную на данной прямой справа от $B$ такую, что $\dfrac{BC}{AB}=\lambda $. Определите все значения $\lambda $ такие, что для любой точки $M$ на этой прямой и для любого начального расположения $n$ блох существует конечная последовательность прыжков, после которой все блохи окажутся справа от точки $M$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  У фокусника 100 карточек, занумерованных натуральными числами от 1 до 100. Он раскладывает все карточки в три ящика — красный, белый и синий — так, чтобы в каждом ящике лежала хотя бы одна карточка. Один из зрителей выбирает два из трех ящиков, вынимает из них по одной карточке и объявляет сумму номеров вытянутых карточек. Зная эту сумму, фокусник определяет тот ящик, из которого карточки не вынимались. Сколькими различными способами можно разложить карточки по ящикам так, чтобы этот фокус всегда удавался? (Способы, при которых хотя бы одна карточка попадает в разные ящики, считаются различными.)
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Существует ли такое натуральное число $n$, что $n$ имеет ровно 2000 различных простых делителей и ${{2}^{n}}+1$ делится на $n$?
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Пусть $A{{H}_{1}}$, $B{{H}_{2}}$, $C{{H}_{3}}$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках ${{T}_{1}}$, ${{T}_{2}}$, ${{T}_{3}}$ соответственно. Прямые ${{l}_{1}}$, ${{l}_{2}}$, ${{l}_{3}}$ являются образами прямых ${{H}_{2}}{{H}_{3}}$, ${{H}_{3}}{{H}_{1}}$, ${{H}_{1}}{{H}_{3}}$ при симметрии относительно прямых ${{T}_{2}}{{T}_{3}}$, ${{T}_{3}}{{T}_{1}}$, ${{T}_{1}}{{T}_{2}}$ соответственно. Докажите, что прямые ${{l}_{1}}$, ${{l}_{2}}$, ${{l}_{3}}$ образуют треугольник с вершинами на окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
комментарий/решение(1)

---