47-я Международная Математическая Oлимпиада
Словения, Любляна, 2006 год


Задача №1.  Точка $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Внутри треугольника выбрана такая точка $P$, что $\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB.$ Докажите, что $AP\ge AI$, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка $P$ совпадает с точкой $I$.
комментарий/решение(1)
Задача №2. Диагональ правильного 2006-угольника $P$ называется хорошей, если ее концы делят границу многоугольника $P$ на две части, каждая из которых содержит нечетное число сторон. Стороны многоугольника $P$ также называются хорошими.
Пусть 2003 диагонали многоугольника $P$, никакие две из которых не имеют общих точек внутри $P$, разбивают $P$ на треугольники. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?
комментарий/решение(1)
Задача №3. Определите наименьшее действительное число $M$ такое, что неравенство $|ab({{a}^{2}}-{{b}^{2}})+bc({{b}^{2}}-{{c}^{2}})+ca({{c}^{2}}-{{a}^{2}})|\le M{{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}^{2}}$ выполняется для любых действительных чисел $a$, $b$, $c$.
комментарий/решение
Задача №4. Найдите все пары $\left( x,y \right)$ целых чисел такие, что $1+{{2}^{x}}+{{2}^{2x+1}}={{y}^{2}}.$
комментарий/решение(1)
Задача №5. Пусть $P\left( x \right)$ — многочлен степени $n > 1$ с целыми коэффициентами, $k$ — произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен $Q(x)=P(P(\ldots P(P(x))\ldots ))$ (здесь $P$ применен $k$ раз). Докажите, что существует не более $n$ целых чисел $t$ таких, что $Q\left( t \right)=t$.
комментарий/решение
Задача №6. Каждой стороне $b$ выпуклого многоугольника $P$ поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в $P$, одна из сторон которых совпадает с $b$. Докажите, что сумма площадей треугольников, соответствующих всем сторонам многоугольника $P$, не меньше удвоенной площади этого многоугольника.
комментарий/решение
результаты