47-я Международная Математическая Oлимпиада
Словения, Любляна, 2006 год


Задача №1.  Точка $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Внутри треугольника выбрана такая точка $P$, что $\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB.$ Докажите, что $AP\ge AI$, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка $P$ совпадает с точкой $I$.
комментарий/решение(1)
Задача №2. $P$ дұрыс 2006-бұрыштың диагоналін жақсы дейміз, егер оның шеттері $P$ көпбұрышын екіге бөліп, екі жағында да қабырғалар саны тақ болса. $P$ көпбұрышының қабырғаларын да жақсы дейміз.
Ешбір екеуі $P$ ішінде ортақ нүктесі болмайтындай $P$ көпбұрышының 2003 диагоналі $P$ көпбұрышын үшбұрыштарға бөледі. Бөлгенде әрбірінің екі жақсы қабырғасы болатын теңбүйірлі үшбұрыштардың ең көп мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
Задача №3. Кез келген $a$, $b$, $c$ нақты сандары үшін $$|ab({{a}^{2}}-{{b}^{2}})+bc({{b}^{2}}-{{c}^{2}})+ca({{c}^{2}}-{{a}^{2}})|\le M{{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}^{2}}$$ теңсіздігі орындалатындай $M$ нақты санының ең кіші мәнін табыңыздар.
комментарий/решение
Задача №4. $1+{{2}^{x}}+{{2}^{2x+1}}={{y}^{2}}$ болатындай барлық $\left( x,y \right)$ нақты сандар жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение
Задача №5. Коэффициенттері бүтін, дәрежесі $n > 1$ болатын $P\left( x \right)$ көпмүшелігі берілсін, $k$ — кез келген натурал сан. $Q(x)=P(P(\ldots P(P(x))\ldots ))$ көпмүшелігін қарастырайық (бұл жерде $P$ — $k$ рет қолданылған). $Q\left( t \right)=t$ болатындай $n$ — нен аспайтын $t$ бүтін сандарының табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Задача №6. $P$ дөңес көпбұрыштың әрбір $b$ қабырғасы үшін $P$ көпбұрышындағы ең үлкен үшбұрыш ауданы келетіндей бір қабырғасына $b$ қабырғасы сәйкестендірілген. $P$ көпбұрышының барлық қабырғаларына сәйкес келетін үшбұрыштардың аудандарының қосындысы осы көпбұрыштың екі еселенген ауданынан кем болмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
результаты