48-я Международная Математическая Oлимпиада
Вьетнам, Ханой, 2007 год


Задача №1.  ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ нақты сандары берілген. Әрбір $i$ ($1\le i\le n$) үшін $${{d}_{i}}=\max \{{{a}_{j}}\mid 1\le j\le i\}-\min \{{{a}_{j}}\mid i\le j\le n\}$$ қоямыз. $d=\max \{{{d}_{i}}\mid 1\le i\le n\}$ болсын.
а) Әрбір ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ нақты сандары үшін $$\max \{|{{x}_{i}}-{{a}_{i}}|\mid 1\le i\le n\}\ge \dfrac{d}{2}. \qquad (1)$$ теңсіздігі дұрыс екенін дәлелдеңіздер.
б) (1) теңсіздігінің теңдік жағдайы орындалатындай ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ сандарының табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Задача №2. $ABCD$ параллелограмм болатындай және $BCED$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызылатындай $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ бес нүктесі берілген. $l$ түзуі $A$ нүктесі арқылы өтеді, $DC$ кесіндісін $F$ ішкі нүктесінде қияды, ал $BC$ кесіндісін $G$ нүктесінде қияды. $EF=EG=EC$ болсын делік. $l$ түзуінің $DAB$ бұрышының биссектрисасы екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Задача №3. Математикалық жарысқа қатысушылардың кейбірі бір-бірімен достасады: Егер $A$ қатысушы $B$-мен достасса , онда $B$ қатысушы да $A$-мен достасады.Егер топтың әрбір екеуі достасса, онда топты сұрқия топ деп айтамыз. (Екі адамнан аз болатын топ сұрқия топ болады. ) Сұрқия топтағы адамдар санын өлшемі деп айтамыз. Жарыс қатысушыларынан тұратын сұрқия топтарының үлкен өлшемі жұп сан екені белгілі. Бір бөлмедегі сұрқия топтар үлкен өлшемі келесі бөлмедегі сұрқия топтар үлкен өлшеміне тең болатындай барлық қатысушыларды екі бөлмеге бөлуге болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Задача №4. $ABC$ үшбұрышында $BCA$ бұрышының биссектрисасы осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді екінші рет $R$ нүктесінде, $BC$ және $AC$ қабырғаларының орта перпендикулярларын сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $K$ және $L$ нүктелері сәйкесінше $BC$ және $AC$ кесінділерінің орталары. $RPK$ және $RQL$ үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Задача №5. ${{\left( 4{{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}$ саны ($4ab-1$) — ге бөлінетіндей $a$ және $b$ бүтін сандары берілген. $a=b$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
Задача №6. $n$ саны оң бүтін сан болсын. Үшөлшемді кеңістіктің ${{\left( n+1 \right)}^{3}}-1$ нүктесінен тұратын $S=\left\{ (x,y,z)\mid x,y,z\in \{0,1,\ldots ,n\},x+y+z > 0 \right\}$ жиынын қарастырамыз. Бірігуі $S$ жиынының барлық нүктелерін қамтитын, бірақ $\left( 0,0,0 \right)$ нүктесі кірмейтін ең кіші мүмкін болатын жазықтықтар санын табыңыздар.
комментарий/решение
результаты