51-я Международная Математическая Oлимпиада
Казахстан, Астана, 2010 год

Задача №1.  Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такие, что $f([x]y)=f(x)[f(y)]$ для всех $x,y\in \mathbb{R}$. (Через $[z]$ обозначается наибольшее целое число, не превосходящее $z$.)
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Точка $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, а $\Gamma $ — окружность, описанная около этого треугольника. Прямая $AI$ пересекает окружность $\Gamma $ в точках $A$ и $D$. Точка $E$ выбрала на дуге $BDC$ а точка $F$ — на стороне $BC$ так, что $\angle BAF=\angle CAE < \tfrac{1}{2}\angle BAC.$ Точка $G$ — середина отрезка $IF$. Докажите, что прямые $DG$ и $EI$ пересекаются в точке, лежащей на окружности $\Gamma $.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Обозначим через $\mathbb{N}$ множество всех целых положительных чисел. Найдите все функции $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ такие, что число $(g(m)+n)(m+g(n))$ является точным квадратом при любых $m,n\in \mathbb{N}$.
комментарий/решение(4)

---

Задача №4.  Пусть $P$— точка внутри треугольника $ABC$. Прямые $AP$, $BP$ и $CP$ вторично пересекают окружность $\Gamma$, описанную около треугольника $ABC$, в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно. Касательная к окружности $\Gamma$, проведенная через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $S$. Известно, что $SC=SP$. Докажите, что $MK=ML$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  В каждой из шести коробок ${{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}$, ${{B}_{3}}$, ${{B}_{4}}$, ${{B}_{5}}$, ${{B}_{6}}$ изначально находится ровно по одной монете. Разрешается производить операции следующих двух типов:
Тип 1: Выбрать любую непустую коробку ${{B}_{j}}$, где $1\le j\le 5$, убрать из нее одну монету, и добавить две монеты в коробку ${{B}_{j+1}}$.
Тип 2: Выбрать любую непустую коробку ${{B}_{k}}$, где $1\le k\le 4$, убрать из нее одну монету, и поменять местами содержимое (возможно пустое) коробки ${{B}_{k+1}}$ с содержимым (возможно пустым) коробки ${{B}_{k+2}}$.
Существует ли конечная последовательность таких операций, приводящая к ситуации, в которой коробки ${{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}$, ${{B}_{3}}$, ${{B}_{4}}$, ${{B}_{5}}$ пусты, а в коробке ${{B}_{6}}$ находится ровно ${{2010}^{{{2010}^{2010}}}}$ монет? (По определению ${{a}^{{{b}^{c}}}}={{a}^{({{b}^{c}})}}$.)
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Дана последовательность ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$, $\ldots $, состоящая из положительных действительных чисел. Известно, что для некоторого фиксированного целого положительного $s$ при всех $n > s$ выполняется равенство ${{a}_{n}}=\max \{{{a}_{k}}+{{a}_{n-k}}|1\le k\le n-1\}.$ Докажите, что существуют целые положительные числа $\ell $ и $N$ такие, что $\ell \le s$, и ${{a}_{n}}={{a}_{\ell }}+{{a}_{n-\ell }}$ при всех $n\ge N$.
комментарий/решение

---