52-я Международная Математическая Oлимпиада
Нидерланды, Амстердам, 2011 год


Задача №1.  Для множества $A=\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}} \right\}$, состоящего из четырех попарно различных целых положительных чисел, обозначим через ${{s}_{A}}$ сумму ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}$. Через ${{n}_{A}}$обозначим количество пар индексов $\left( i,j \right)$, $1\le i < j\le 4$, для которых ${{s}_{A}}$ делится на ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}$. Найдите все множества $A$, состоящие из четырех попарно различных целых положительных чисел, для которых ${{n}_{A}}$ принимает наибольшее возможное значение.
комментарий/решение
Задача №2.  Пусть $S$ — конечное множество точек на плоскости, содержащее хотя бы две точки. Известно, что никакие три точки множества $S$ не лежат на одной прямой. Назовем мельницей следующий процесс. Вначале выбирается прямая $\ell $, па которой лежит ровно одна точка $P\in S$. Прямая $\ell $ вращается по часовой стрелке вокруг центра $P$ до тех пор, пока она впервые не пройдет через другую точку множества $S$. В этот момент эта точка, обозначим ее $Q$, становится новым центром, и прямая продолжает вращаться по часовой стрелке вокруг точки $Q$ до тех пор, пока она снова не пройдет через точку множества $S$. Этот процесс продолжается бесконечно.
Докажите, что можно выбрать некоторую точку $P$ множества $S$ и некоторую прямую $\ell $, проходящую через $P$, так, что для мельницы, начинающейся с прямой $\ell $, каждая точка множества $S$ выступит в роли центра бесконечное число раз.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ — функция, определенная на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения, такая, что $$f\left( x+y \right)\le yf(x)+f(f(x))$$ для всех действительных $x$ и $y$. Докажите, что $f(x)=0$ для всех $x\le 0$.
комментарий/решение
Задача №4.  Дано целое число $n > 0$. Имеются чашечные весы и $n$ гирь, веса которых равны ${{2}^{0}}$, ${{2}^{1}}$, $\ldots $, ${{2}^{n-1}}$. Все $n$ гирь выкладываются одна за другой на чаши весов, то есть на каждом из $n$ шагов выбирается гиря, которая еще не выложена на весы, и добавляется либо на левую, либо на правую чашу весов; при этом гири выкладываются так, чтобы ни в какой момент правая чаша не была тяжелее левой. Найдите количество способов выполнить такую последовательность шагов.
комментарий/решение
Задача №5.  Пусть $f$ — функция, определенная на множестве целых чисел, принимающая целые положительные значения. Известно, что для любых целых $m$ и $n$ разность $f(m)-f(n)$ делится на $f\left( m-n \right)$. Докажите, что для любых целых $m$ и $n$ таких что $f(m)\le f(n)$, число $f(n)$ делится на $f(m)$.
комментарий/решение
Задача №6.  Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, и $\Gamma $ — описанная около него окружность. Пусть прямая $\ell $ — некоторая касательная к окружности $\Gamma $, и пусть ${{\ell }_{a}}$, ${{\ell }_{b}}$ и ${{\ell }_{c}}$ — прямые, симметричные прямой $\ell $ относительно прямых $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного прямыми ${{\ell }_{a}}$, ${{\ell }_{b}}$ и ${{\ell }_{c}}$, касается $\Gamma $.
комментарий/решение
результаты