қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс
Задача №1. Пусть ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{2014}}$ — перестановка чисел 1, 2, $\ldots$, 2014.
Какое наибольшее количество чисел среди чисел
$a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$, $a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$, $\ldots$, $a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$, $a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$
могут быть точными квадратами?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Существуют ли натуральные числа $a$ и $b$ такие, что для каждого натурального $n$
числа ${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ и ${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ взаимно просты?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Gamma$. Вписанная в треугольник окружность касается стороны $BC$ в точке $N$. $\omega $ — окружность, вписанная в сегмент $BAC$ окружности $\Gamma$, и проходящая через точку $N$. Пусть точки $O$ и $J$ — центры окружностей $\omega $ и вневписанной окружности (касающейся стороны $BC$), соответственно. Докажите, что прямые $AO$ и $JN$ параллельны.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. В неравнобедренном треугольнике $ABC$ вписанная окружность
касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_1$ и $A_1$ соответственно,
а вневписанная окружность (касающаяся стороны $AC$) — соответственно
в точках $C_2$ и $A_2$.
Точка $N$ — основание биссектрисы из вершины $B$.
Прямая $A_1C_1$ пересекают прямую $AC$ в точке $K_1$. Пусть описанная
окружности треугольника $BK_1N$ повторно пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $P_1$.
Аналогично определим точки $K_2$ и $P_2$. Докажите, что $AP_1 = CP_2$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Обозначим через $\mathbb{Q} $ множество всех рациональных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$, удовлетворяющие для любых рациональных чисел $x,y,z$ равенству $f\left( x,y \right)+f\left( y,z \right)+f\left( z,x \right)=f\left( 0,x+y+z \right).$
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Докажите, что для любого натурального $n$ на отрезке
$[n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n}]$ найдется число, представимое в виде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)