қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2000 год
Задача №1. Дано число $188188\dots 188$ (число 188 написано 101 раз). Некоторые цифры этого числа
вычеркнули. Какое наибольшее число, кратное 7, могло получиться?
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №2. Можно ли раскрасить плоскость в 4 цвета так, чтобы внутри любого
круга были точки всех четырех цветов?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Вписанная в ромб окружность касается его сторон $AB$ и $BC$ в точках $E'$ и
$F'$. Касательная $l$ пересекает $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что
произведение $AE\cdot CF$ не зависит от выбора касательной $l$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что если произведение положительных чисел $a$, $b$ и $c$ равно
единице, то $\dfrac{1}{{a(a + 1)}} + \dfrac{1}{{b(b + 1)}} + \dfrac{1}{{c(c + 1)}} \ge \dfrac{3}{2}.$
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №5. Существуют ли простые $p$ и $q$, большие 3, такие, что $p^2-1$ делится на $q$
и $q^2-1$ делится на $p$?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Пусть $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного
треугольника $ABC$. Центры окружностей, описанных около треугольников $OAB$,
$OBC$, $OCA$ лежат в вершинах правильного треугольника. Докажите, что
треугольник $ABC$ — правильный.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №7. Каждые два из пяти правильных пятиугольников на плоскости имеют общую
точку. Верно ли, что какие-то три из этих пятиугольников имеют общую
точку?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. В стране 2000 городов, из каждого из которых ведут ровно три дороги в
другие города. Докажите, что можно закрыть 1000 дорог так, чтобы в
стране не осталось ни одного замкутого маршрута, состоящего из нечетного
числа дорог.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)