Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2001 год


Задача №1.  16 шахматистов провели между собой турнир: каждые два шахматиста сыграли ровно одну партию. За победу в партии давался 1 балл, за ничью — 0,5 балла, за поражение — 0 баллов. Оказалось, что ровно 15 шахматистов поделили первое место. Сколько очков мог набрать шестнадцатый шахматист? ( Ю. Лифшиц )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Можно ли так расставить целые числа в клетках бесконечного клетчатого листа, чтобы каждое целое число встречалось хотя бы в одной клетке, а сумма любых 10 чисел, стоящих подряд по вертикали или по горизонтали, делилась бы на 101? ( А.Я.Канель-Белов )
комментарий/решение
Задача №3.  Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) описана окружность с центром в точке $O$. Через середину хорды $AB$ и точку $O$ проведена прямая. Она пересекает прямую $AC$ в точке $L$ и окружность — в точке $P$. Пусть биссектриса угла $BAC$ пересекает окружность в точке $K$, прямые $AB$ и $PK$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что точки $L$, $B$, $D$ и $P$ лежат на одной окружности. ( С. Попов )
комментарий/решение
Задача №4.  Натуральные числа 1, 2, 3, $\dots$ , 100 содержатся в объединении $N$ геометрических прогрессий (не обязательно с целыми знаменателями). Докажите, что $N\geq 31$. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №5.  Множество натуральных чисел разбито на непересекающиеся множества $N_1$ и $N_2$ такие, что разность чисел, лежащих в одном множестве, не является простым числом, большим 100. Найдите все такие разбиения. ( Н. Седракян )
комментарий/решение
Задача №6.  На стороне $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AC=BC$) отмечены точки $P$ и $Q$ такие, что $\angle PCQ\leq{1\over 2}\angle ACB$. Докажите, что $PQ\leq{1\over 2}AB$. ( Фольклор )
комментарий/решение(3)
Задача №7.  На доске были выписаны несколько рациональных чисел. Дима списал на бумажку их дробные части. Потом все числа на доске возвели в квадрат, и Дима списал на другую бумажку дробные части получившихся чисел. Оказалось, что на Диминых бумажках написаны одинаковые наборы чисел (может быть, отличающиеся порядком). Докажите, что исходные числа на доске были целыми. (Дробная часть числа $x$ — такое число $\{x\}$, $0\leq\{x\} < 1$, что $x-\{x\}$ — целое.) ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №8.  Могут ли три человека, имея один двухместный мотоцикл, преодолеть расстояние 70 км за 3 часа? Скорость пешехода 5 км/ч, скорость мотоцикла — 50 км/ч. ( Фольклор )
комментарий/решение