қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2002 год
Задача №1. Каждая из точек $G$ и $H$, лежащих по разные стороны от плоскости
шестиугольника $ABCDEF$, соединена со всеми вершинами шестиугольника.
Можно ли расставить на получившихся 18 отрезках числа 1, 2, 3, $\dots$, 18,
а в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ — некоторые вещественные
числа так, чтобы на каждом отрезке было написано число, равное разности
чисел, написанных в его вершинах?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Произведение положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равно 1. Докажите,
что
$${1+ab\over 1+a}+{1+bc\over 1+b}+{1+cd\over 1+c}+{1+da\over 1+d}\geq 4.$$
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Окружность, концентрическая со вписанной окружностью треугольника $ABC$,
пересекает стороны треугольника в шести точках, образующих выпуклый
шестиугольник $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ (точки $A_1$ и $A_2$ лежат на
стороне $BC$, $B_1$ и $B_2$ — на стороне $AC$, $C_1$ и $C_2$ — на
стороне $AB$).
Докажите, что если прямая $A_1B_1$ параллельна биссектрисе угла $B$,
то прямая $A_2C_2$ параллельна биссектрисе угла $C$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Прямоугольная доска с 2001 строчками и 2002 столбцами разбита на
прямоугольники $1\times 2$. Известно, что в любом
другом разбиении этой доски на прямоугольники $1\times 2$
найдется прямоугольник, содержавшийся и в исходном разбиении.
Докажите, что в исходном разбиении
имеются два соседних столбца таблицы, заполненные 2001 горизонтальным
прямоугольником.
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Дано натуральное число $c$. Последовательность $\{p_k\}$ строится
по следующему правилу: $p_1$ — произвольное простое число, а при $k\geq 1$
число $p_{k+1}$ — любой простой делитель числа $p_k+c$, не встречающийся
среди чисел $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_k$. Докажите, что последовательность
$\{p_k\}$ не может быть бесконечной.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Найдите все функции $f(x)$, заданные и непрерывные на всей вещественной
прямой, для которых при любом $x$ выполняются неравенства
$$f(3x-2)\leq f(x)\leq f(2x-1).$$
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. $D$ и $E$ — такие точки описанной окружности остроугольного
треугольника $ABC$, что $AD=AE$. Пусть $H$ — точка пересечения высот
треугольника $ABC$. Известно, что $AH^2=BH^2+CH^2$. Докажите,
что точка $H$ лежит на отрезке $DE$.
(
Д. Ширяев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Дано вещественное число $\alpha$. Последовательность $n_1 < n_2 < n_3 < \dots$
состоит из всех натуральных чисел $n$, для которых $\{n\alpha\} < {1\over 10}$.
Докажите, что среди чисел $n_2-n_1$, $n_3-n_2$, $n_4-n_3$, $\dots$
не более трех различных.
комментарий/решение
комментарий/решение