қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2003 год
Задача №1. Прямоугольник $2003\times 2004$ разбит на единичные квадраты.
Рассмотрим ромбы, ограниченные четырьмя диагоналями единичных квадратов.
Какое наибольшее количество таких ромбов, никакие два из которых не имеют
общих точек, отличных от вершин, можно разместить в этом прямоугольнике?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны,
$\angle A=150^\circ$, $\angle B=44^\circ$, $\angle C=72^\circ$.
Серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$.
Найдите $\angle APD$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Алфавит $A$ состоит из $n$ букв. $S$ — множество слов конечной длины,
составленных из букв этого алфавита.
Известно, что любая бесконечная
последовательность букв алфавита $A$ начинается ровно с одного
из слов множества
$S$. Докажите, что множество $S$ конечно.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Найдите все непрерывные функции $f(x)$, заданные при всех
вещественных $x > 0$ и такие, что для любых $x$, $y > 0$
$$ f\left(x+{1\over x}\right)+f\left(y+{1\over y}\right)=
f\left(x+{1\over y}\right)+f\left(y+{1\over x}\right) .$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Докажите, что для любых $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\dots$, $\alpha_n$,
принадлежащих интервалу $(0,\pi/2)$,
$$\left( {1\over \sin \alpha_1} + {1\over \sin \alpha_2} + \ldots
+ {1\over \sin \alpha_n} \right)
\left( {1\over \cos \alpha_1} + {1\over \cos \alpha_2} + \ldots
+ {1\over \cos \alpha_n} \right) \leq $$
$$\leq 2 \left( {1\over \sin 2\alpha_1} + {1\over \sin 2\alpha_2} + \ldots
+ {1\over \sin 2\alpha_n} \right)^2 .$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Каких чисел больше в промежутке от 1 до 1000000:
представимых в виде $2x^2 - 3y^2$ с целыми $x$ и $y$ или
представимых в виде $10xy - x^2 - y^2$ с целыми $x$ и $y$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнены соотношения
$AB\cdot CD=BC\cdot DA$ и $2\angle A+\angle C=180^\circ$. Точка $P$ лежит
на описанной окружности треугольника $ABD$ и делит пополам дугу $BD$, не
содержащую точку $A$. Известно, что точка $P$ лежит внутри четырехугольника
$ABCD$. Докажите, что $\angle BCA=\angle DCP$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Дан многочлен $f(x)$ с целыми неотрицательными коэффициентами и
натуральное число $a$.
Рассмотрим последовательность, заданную правилами
$a_1=a$, $a_{n+1}=f(a_n)$. Известно, что множество простых чисел, делящих
хотя бы один из членов этой последовательности, конечно.
Докажите, что $f(x)=cx^k$ при некоторых целых неотрицательных $c$ и $k$.
комментарий/решение
комментарий/решение