қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2005 год
Задача №1. В каждой клетке таблицы $3 \times 3$ стоит одно из чисел 1, 2 и 3.
Дима посчитал сумму чисел в каждой строке и в каждом столбце.
Какое наибольшее количество различных сумм он мог получить?
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Точки $X$ и $Y$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$,
$I$ — центр его вписанной окружности, $K$ — точка касания вписанной
окружности со стороной $BC$.
Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ пересекает прямую $XY$ в точке
$P$, а биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает $XY$ в точке
$Q$. Докажите, что площадь четырехугольника $PKQI$ равна половине площади
исходного треугольника.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Билет на трамвай стоит 1 тугрик. У 20 пассажиров имеются лишь
монеты достоинством в 2 и 5 тугриков, а у кондуктора вообще ничего.
Оказалось, что все пассажиры смогли заплатить за проезд и получить сдачу.
Какое наименьшее суммарное количество тугриков могло быть у пассажиров?
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Организаторы математического конгресса
обнаружили, что, если любого из участников поселить в одноместный номер,
то всех остальных можно будет расселить по двухместным номерам,
в каждом из которых обитатели будут знакомы друг с другом.
Докажите, что любой участник может организовать круглый стол по теории
графов, в котором, кроме него, будет участвовать еще четное число людей,
и каждый участник будет знаком с обоими своими соседями по столу.
(
С. Берлов,
С. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Дан квадратный трехчлен $f(x)=x^2+ax+b$ с целыми коэффициентами,
удовлетворяющий неравенству $f(x) \geq -{9\over 10}$ при любом $x$.
Докажите, что $f(x)\geq -{1\over 4}$ при любом $x$.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Вдоль прямого шоссе Тмутаракань — Урюпинск в точках $A_1$, $A_2$, $\dots$,
$A_{100}$ стоят вышки оператора сотовой связи ДПС, а в точках
$B_1$, $B_2$, $\dots$, $B_{100}$ — вышки компании "Рупор". (Нумерация вышек
может не совпадать с порядком их расположения вдоль шоссе.) Каждая вышка
действует на расстоянии 10~км в обе стороны вдоль шоссе. Известно, что
$A_iA_k \geq B_iB_k$ при любых $i$, $k\leq 100$.
Докажите, что суммарная длина всех участков шоссе, охваченных сетью ДПС, не
меньше, чем длина участков, охваченных сетью "Рупор".
(
А. Храбров
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Точка $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$.
Точки $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно.
Известно, что $\angle BIC_1 + \angle CIB_1 = 180^\circ$.
Докажите равенство $AB+AC=3BC$.
(
Д. Ростовский,
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Последовательность натуральных чисел строится по следующему правилу:
каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением
произведения всех его различных простых делителей (например, после числа
12 должно идти число 18, а после числа 125 — число 130).
Докажите, что любые две последовательности, построенные таким образом,
имеют общий член.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение